Mathématiques 2004 ENAC

Description

Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2004
• Énaction

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

Questionli´ees:1`a18;19a`22;23`a29;30`a32 - PARTIE I - Pourn∈Nlafofinitonnctio,e´dnf n par : ∗ →R f n :R + n xlnx six6=1 2 x7→f n (x) = x−1 k n six= 1 ou`k n lexfie´teseutrne´nelafonclnd´esightir´nemnoitagolnn.Oerot´eepenriaC n la courbe repr´esentativedef n ohtroere`pernusnda.´ermnonnadltecsapeteitrunratiennaerretu.neigesd´ Question 1 :+1(folade´elnontincevolppmeneltmitiLed´exla`)a3erdro’,tceirsinauvoi0s’´gedeε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x→0 2 32 3 x xx x 3 3 a) 1+x−+ +x ε(x) b)x+ + +x ε(x) 2 32 3 2 32 3 x xx x 3 3 c)x−+ +x ε(x) d)x−+ +x ε(x) 2 3!2 3 1 Question 2 :aue2droraginisvoe´’s0ede,tircltolpipme´emveendeLleadit´eitnoofcna`’lε 2 +u d´esignanttoujoursunefonctiontellequelimε(u) = 0 u→0 2 2 u u1u u 2 2 a) 1−+ +u ε(u) b)++ +u ε(u) 2 42 48 2 u u1u 2 2 c)−+ +u ε(u) d)−+u ε(u) 4 82 4 Question 3 :tcnonoievd´Letnilim´tlepoepemre2delafe`al’ordf 0 au voisinage de 1 est alors,ε 0 ntta´e une fonctionire´vtnafilimε 0 (x) = 0 x→1 x−1 5 2 2 a) 1−+ (x−1) +(x−1)ε 0 (x) 2 12 1x−1 5 2 2 b)−+ (x−(1) +x−1)ε 0 (x) 2 2 12 2 1 2x−1 10x−9x+ 3 2 c)−+ +x ε 0 (x) 2 424 1x5 2 2 d)−+x+x ε 0 (x) 2 2 12 Question 4 :Pour tout entiernstrictement positif, on a ∗n∗ a)f(x) =f(x)∀x∈Rb)f( n0 +n x) =x f 0 (x)∀x∈R + n etled´eveloppementlimite´`al’ordre2delafonctionxgena1sdeuvasioice´’,tirε de´signantunefonctiontellequelimε(x) = 0 x→1 n(n−1) 2 2 c) 1+nx+x+x ε(x) 2 n(n−1) 2 2 d) 1+n(x−1) +(x−(1) +x−1)ε(x) 2 Question 5 :Pourn∈N`elaim´tera2o’drsinauvoi1delgedeoitcnofael,nevd´opelmepelintf n est alors, aveclimε n (x) = 0 x→1 2 1n−1 3n−9n+ 5 2 2 a)−(x−1) +(x−1) +(x−1)ε n (x) 2 212 2 n−1 3n−9n+ 5 2 2 b) 1+ (x−(1) +x−(1) +x−1)ε n (x) 2 12 2 1n−1 3n+ 9n+ 5 2 2 c) +(x−1) +(x−(1) +x−1)ε n (x) 2 212 1

2 1n−1 3n−9n+ 5 2 2 d) +x+x+x ε n (x) 2 212 ∗ Question 6 :Pour que, pour toutn∈N, la fonctionf n soit continue surRil faut poser : + n1 1 a)k n = 1b)k n = c)k n = d)k n =− 2 22 ∗ Onsupposedore´navantqpournentier uek n prend une valeur rendantf n continue surR + , naturelfix´e. Question 7 :Pour tout entiern, la fonctionf n a)n’estpasd´erivableen1 b)estd´erivableen1cartoutefonctioncontinueenunpointx 0 elbavire´dtseenx 0 c)estd´erivableen1puisquef n de´tdro’tnemimilelevpeopetdmd´una1nere1 n−1 0 d)estde´rivableen1etapourde´rive´ef, car toute fonction admettant un(1) = n 2 ∗ d´eveloppementlimite´d’ordrenen un pointx 0 eadroerddu’nreei´ve´nenx 0 ,∀n∈N. Question 8 :delationequaL’´a`neetatgnC n onrdeen´tdinooecuaop1(s, k n pourtoutce´’,tirs)n∈N, y=h n (x) avec pour toutx∈R n−1 1n−1 1 a)h n (x) =−(x−b)1) +h n (x) =(x−1) + 2 22 2 n−1n n−1 1 c)h n (x) =x−d)+ 1h n (x) =x+ 2 22 2 Question 9 :Pour toutn∈N, la fonctionf n −h n est au voisinage de 1 du signe deQ(no`u)Qest la fonctionpolynoˆmed´efiniesurRpar 2 3 a)Q(x) = 3x−9xb)+ 5Q(x) = 3x+ 9x+ 5 5 2 c)Q(x) =−3x+ 9x−5 d)Q(x) = 12 Question 10 :ynˆomecotniaofnpLolQ a)n’admetpasderacinesre´elles b)admetne´cessairementdesracinesr´eellespuisqu’elleest`acoefficientsr´eels √ √ 9−+ 2121 9 c)admet2racinesre´ellespositivesx 1 = etx 2 = 6 6 √ √ −9−21−219 + d)admet2racinesr´eellesne´gativesx 1 = etx 2 = 6 6 Question 11 :Au voisinage du point d’abscisse 1, la courbeC n reste : a) pourtoutn∈N, au dessus de sa tangente carQ(n)>0∀n∈N b) pourtoutn∈N, au dessous de sa tangente carQ(n)<0∀n∈N c) pourtout entiern>2 au dessus de sa tangente et au dessous pourn61 d) pourtoutn∈N\ {1,2}au dessus de sa tangente et au-dessous pourn∈ {1,2} ∗ Question 12 :On a pour toutx∈R\ {1}: + 2 2 x−1−2xlnx1 0 0 a)f(x) =b)f(x) = 0 0 2 22 x(x−1) 2x et pour toutn∈N 0n−2 c)f(x) =x(nlnx+ 1) n n+1n−1 x(1 + (n−2) lnx)−x(1 +nlnx) 0 d)f(x) = n 2 2 (x−1) Question 13 :La fonctionf n : n a)estprolongeableparcontinuite´en0par0pourtoutn∈Ncar limxlnx= 0 + x→0 b)estprolongeableparcontinuit´een0uniquementpournentier strictement positif

2

c)n’estprolongeableparcontinuite´en0pouraucunevaleurdel’entiern d)estprolongeableparcontinuite´en0uniquementpourn>2 f n (x)−f n (0) Question 14 :La fonctiont n (x0n:roadeeitmilie`uta,eiruopdtsenfie´squ’elle,lor=) x a) limt n (x) = 0∀n∈Nb) limt 1 (x) = +∞ + + x→0x→0 et la courbeC n admet ∗ c) unedemi-tangente horizontale en (0,0)∀n∈N d) unedemi-tangente horizontale en (0,0) pourn>2 et une demi-tangente verticale au point d’abscisse 0 pourn∈ {0,1} ∗ Onconside`relesfonctionsϕ:, par 0 ϕ 1 etϕ 2 fieinseusr´dR + 1 ϕ 0 (x) = 1− −2 lnx 2 x 2 x−1 ϕ 1 (x) =−lnx 2 x+ 1 2 ϕ 2 (x) =x−1−2 lnx Question 15 :La fonctionϕ 0 1 0 ∗ a)apourd´erive´elafonctionϕ(x) =− ∀x∈R 0 + x   2 2x−1 0 ∗ b)apourde´riv´eelafonctionϕ(x) =∀x∈R 0 + 3 x c) atteintson maximum au pointx= 1 d) atteintson minimum au pointx= 1 Question 16 :La fonctionf 0 ∗ a)estde´croissantesurRntd´ecrotrictemee’tsapssmiansassietn + x ∗ 0∗ b)eststrictementd´ecroissca)<0∀x∈R\ {1}et ante surR + rf 0 (x) =ϕ 0 (x + 2 2 (x−1) 1 0 f(1) =− 0 2 ∗ c) eststrictement croissante surR + et la courbeC 0 admet d) lesdroitesx= 0 etylim= 0 pour asymptotes carf 0 (xlim) = 0 etf 0 (x) = +∞ x→0 x→+∞ Question 17 :On a :   2 2 x−1 0 ∗ a)ϕ(x) =∀x∈Rb) limϕ 1 (x) =−∞ 1 2 + 2 x→+∞ x(x+ 1) ∗ c) limϕ 2 (x) = +∞d)ϕ 2 (x)60∀x∈R + x→+∞ ∗ si estpossi Question 18 :La fonctionf 1 olonpr`ag´eeR + ble,, cela a)estd´ecroissantesur[0,1] et croissante sur [1,+∞[ b) estpositive surR + car croissante surR + et nulle en 0 et la droiteOyest c) directionasymptotique de la courbeC 2 d)asymptotea`lacourbeC 1 - PARTIE II - 3 Racesinona`e´abalequseoptrrtpaB= (e 1 , e 2 , e 3 ) avece 1 = (1,0,0) ;e 2 = (0,1,0) ete 3 = 3 3 (0,0,re`disnocnO.)1efl’endomorphisme deRturta`otqiut(iplex, y, z)∈Rassocie le triplet ((b+c)x+ (c−a)y+ (b−a)z,(c−b)x+ (a+c)y+ (a−b)z,(b−c)x+ (a−c)y+ (a+b)zu`)o a,b,cs.2se´rnodtstdilsee`as2ctin

3