Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option scientique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 6 pages

Année 2006

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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Tournez la page S.V.P

EXERCICE 1 3 On considère lespace vectoriel euclidienRmuni de son produit scalaire canonique et on noteB= (i; j; k)la base 3 canonique deR. 3 3 Pour tout(x; y)2RRon a donc : t < x;y >=XY oùXetYdésignent les matrices colonnes des coordonnées dexetydans la baseB. 3?3 SiFest un sous-espace vectoriel deR,Fdésigne le supplémentaire orthogonal deFdansR 3 33 On noteL(R)lensemble des endomorphismes deRetIdlapplication identité deR. 3?3 Pourfendomorphisme deR, de matriceMdans la base canonique, on noteflendomorphisme deRdont la t matrice dans la base canonique estM.

? Partie I : Quelques propriétés def. 3 Dans cette questionfest un endomorphisme deR. 1. Montrerque : 3 2? 8(x; y)2(R)f; <(x)>; y=< x;f(y)> ?3 2. Montrerquefest le seul endomorphismegdeRvériant 3 2 8(x; y)2(R)f; <(x); y>=< x;g(y)> 3 3. SoitFun sous espace vectoriel deRstable parf(cest-à-dire tel quef(F)F). ?? (a) Pourx2Fety2F, calculer< x;f(y)>. ?? (b) Endéduire queFest stable parf.

Partie II : Réduction des matrices dun ensembleE. 3 On désigne parElensemble des endomorphismesf u deRdont la matrice dans la baseBest de la forme 0 1 a b c @ A M u =c a b b c a 3 oùu= (a; b; c)2R. 3 1. MontrerqueEest un sous espace vectoriel deL(R). 3? 2. Montrerque pour toutu2R,fappartient àE. u 1 11 3. Onnotee 1 = p (i+j+k); e 2 = p (ij); e 3 = p (i+j2k)etDla droite de vecteur directeure 1 . 3 26 (a) Montrerquee 1 est un vecteur propre commun aux élémentsf u deE. 3 (b) Endéduire que, pour toutu2R,Dest stable parf u . 3? (c) Déduiredes questions précédentes que, pour toutu2R,Dest stable parf u . ? (d) Déterminerune équation deD. ? 0 (e) Montrerque(e 2 ; e 3 )est une base orthonormale deDet queB= (e 1 ; e 2 ; e 3 )est une base orthonormale 3 deR. 0 (f) Justieralors que la matrice def u dans la baseBest de la forme 0 1 e0 0 @ A N u = 0f g 0h ` oùe,f,g,h,`sont des réels.

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EXERCICE 2 On considère la fonctionfdes deux variables réellesx,t, dénie par : 2 p t f(x; t) =e1 +xt 1. Etudedef. 2 (a) Justierquefest de classeCsur[0;+1[[0;+1[. (b) Pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, calculer 2 @f @f (x; t)et(x; t) 2 @x @x (c) Montrerque pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, 2 2 @ ft 2 t 6e  2  @x(x; t) 4 2. Montrerque pour tout réelstrictement positif, lintégrale +1 Z 2 t t et 0 est convergente. En déduire que pour tout réelxpositif, les intégrales suivantes sont convergentes : +1+1 Z Z 2 t 2 p te t e1 +xtdtet p dt 1 +xt 0 0 3. Onconsidère la fonctiongdénie sur[0;+1[par +1+1 Z Z 2 p t g(x) =f(x; t)dt=e1 +xtdt 0 0 (a) Sanschercher à calculer la dérivée deg, montrer quegest croissante sur[0;+1[. (b) Soitx 0 2[0;+1[. Montrer que pour(x; t)2[0;+1[[0;+1[, 2 @f t 2 t 2 f(x; t)f(x 0 ; t)(xx 0 ) (x 0 ; t)6ejxx 0 j  @x8 (c) Endéduire que pourx 0 2[0;+1[, +1+1 Z Z 2 @fjxx 0 j 2t 2 g(x)g(x 0 )(xx 0 ) (x 0 ; t)dt6dtt e @x8   0 0

0 (d) Montrerquegest dérivable sur[0;+1[et quegest dénie par

Retrouver le sens de variations deg.

+1 Z @f 0 g(x) =(x; t)dt @x 0

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PROBLEME On e¤ectue une succession innie de lancers indépendants dune pièce donnant Pile avec la probabilitép2]0;1[et Face avec la probabilitéq= 1p. On va sintéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté. On dit que la première série est de longueurn>1si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)-ième lautre côté. De même la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté. On dénit de même les séries suivantes. désigne lensemble des successions innies de Pile ou Face.  Pouri2N, on noteP i lelévénement «iet-ième lancer amène Pile »F i Les trois partieslévénement contraire. sont indépendantes.

Partie I : Etude des longueurs de séries.

1. OnnoteL 1 la longueur de la première série. Exprimer lévénement(L 1 =n)à laide des événementsP i etF i pourientier naturel variant entre1et n+ 1. En déduire que n n P(L 1 =n) =p q+q p Vérier que +1 X P(L 1 =n) = 1 n=1 2. OnnoteL 2 la longueur de la deuxième série.

(a) Exprimerlévénement(L 1 =n)\(L 2 =k)à laide des événementsP i etF i pourientier naturel variant entre1etn+k+ 1puis calculer la probabilité de lévénement(L 1 =n)\(L 2 =k).  (b) Endéduire que, pourk2N, 2k1 2k1 P(L 2 =k) =p q+q p On admet que +1 X P(L 2 =k) = 1 k=1 (c) Montrerque la variable aléatoireL 2 admet une espérance égale à2.

Partie II : Etude du nombre de séries lors desnpremiers lancers. 1 On considère dans toute cette partie que la pièce estéquilibrée, cest-à-dire quep=. 2 On noteN n le nombre de sérieslors desnpremiers lancers: La première série est donc de longueurk < nsi leskpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(k+ 1)-ième lautre côté et de longueurnsi lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce ; La dernière série se termine nécessairement aun-ième lancer. Par exemple, si les lancers successifs donnent :FFPPPPFFPPP. . . (Fdésignant Face et P Pile), on a pour une telle succession!2, N 1 (!) =N 2 (!) = 1;N 3 (!) =  =N 6 (!) = 2; N 7 (!) =N 8 (!) = 3;N 9 (!) =  =N 11 (!) = 4; les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminerN 12 (!). On admettra queN n est une variable aléatoire sur(;A; P).

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1. Déterminerles lois deN 1 ,N 2 etN 3 et donner leurs espérances.  2. Dans le cas général oùn2N, déterminerN n ()(ensemble des valeurs prises parN n ) puis calculer les valeurs deP(N n = 1)etP(N n =n). 3. Simulationinformatique.  Pourk2N, on noteX k la variable aléatoire qui vaut1lorsque lek-ième lancer amène Pile et0sinon. On rappelle quen langage Pascal, la fonctionrandom(2)simule une variable aléatoire de loi uniforme sur 0;1(soit une loi de Bernoulli de paramètre1=2le programme informatique suivant pour). Compléter que,métant une valeur entière, inférieure à100, entrée par lutilisateur, il simule lesmvariables aléatoires X 1 ; X 2 ; : : : ; X m (dont les valeurs seront placées dans le tableauX) et détermine les valeurs deN 1 ; N 2 ; : : : ; N m (qui seront stockées dans le tableauN). program simulation; const nmax=100; type suite= array[l..nmax]of integer; var X, N: suite; m: integer; begin readln(m); randomize; X[1]:=...; N[1]:=...; for i:=2 to m do begin X[i]:=... ... ... end end. 4.Fonctions génératrices deN n :  On pose, pourn2Net pours2[0;1], n X k G n (s) =P(N n =k)s k=1 N n (a) Pours2[0;1], comparer lespérance de la variable aléatoiresavecG n (s). 0 (b) QuereprésenteG(1)? n (c) Montrerque pour toutn>2et toutk21; : : : ; non a 1 1 P((N n =k)\P n ) =P((N n1 =k)\P n1 ) +P((N n1 =k1)\F n1 ) 2 2 On admet que lon obtiendrait de même 1 1 P((N n =k)\F n ) =P((N n1 =k)\F n1 ) +P((N n1 =k1)\P n1 ) 2 2 Montrer alors que 1 1 P(N n =k) =P(N n1 =k) +P(N n1 =k1) 2 2 (d) Soitn>2. Montrerque 1 +s G n (s) =G n1 (s) 2 CalculerG 1 (s)et en déduire que   n1 1 +s G n (s) =s 2 (e) Déterminerle nombre moyen de séries dans lesnpremiers lancers.

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Partie III : Probabilité davoir une innité de fois deux Pile consécutifs.

1. Montrerque pour tout réelxon a x 1x6e 2. Onconsidère dans cette question une suiévén te(A i ) N indépendants. Ond ementssuppose que la série  i2  de terme généralP(A i )diverge. Soitk2Nxé. Pourn>k, on note [ C n =A i =A k [    [A n k6i6n (a) Justierque n X limP(A i ) = +1 n!+1 i=k

(b) Montrerque n Y P(C n ) = 1P(A i ) i=k puis, en utilisantIII.1, que n X P(C n )>1exp(P(A i )) i=k En déduire que limP(C n ) = 1 n!+1 (c) Comparerpour linclusion les événementsC n etC n+1 peut-on en déduire pour. Que +1 [ P(C i ) ? i=k (d) Justierque +1+1 [ [ A i =C n i=k n=k

et en déduire que

+1 [ P(A i ) = 1 i=k

3. Enconsidérant les événementsA n « onobtient Pile au(2n)-ième et au(2n+ 1)-ième lancers» , montrer que la probabilité davoir deux Pile consécutifs, après nimporte quel lancer, vaut1.

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