ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE
EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
MATHEMATIQUES
OPTION TECHNOLOGIQUE Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
21 1. (a)Montrer queA= 3I2A. Endéduire queAest inversible et détailler la matriceA. (b) Montrerquil existe un réelatel queAH=aH. (c) Montrerquil existe un réelbtel queA=I+bH. On considère la suite(bn)n2Ndénie par : b0= 0 Pour tout entier natureln; bn+1=3bn+ 2:
n 2. (a)Sans calculerbn, montrer par récurrence que pour tout entier natureln,A=I+bnH. 0 1 01 1 1 n @ A @A (b) EndéduireA3 = 3bn+ 3 3bn+ 3 0 1 1 @ A (c) Calculerbnen fonction den;puis exprimer la matrice colonne3bn+ 3en fonction den. bn+ 3 On considère maintenant les suites(un)n2Net(vn)n2Ndénies par : u=v= 3 0 0 Pour tout entier natureln; un+1= 65un+ 6vnetvn+1= 22un+ 3vn: 0 1 1 @ A On note, pour tout entier natureln,Xn=un. vn 3. (a)Montrer que pour tout entier natureln; Xn+1=AXn. n (b) Endéduire que pour tout entier natureln; Xn=A X0. (c) Calculernalementunetvnen fonction den.
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EXERCICE 2 On considère une constante réelleAstrictement supérieure à 1. On note alorsfla fonction dénie surRpar: ( 1 si16t6A f(t) = tlnA 0sit <1out > A 1. (a) Justierque pour tout réelt,f(t)>0. 0 (b) Calculerf(t)dans les trois cas suivants :t <1;1< t < A;t > A. Quel est le sens de variation defsur lintervalle]1;A[? 1 (c) Danscette question uniquement on suppose queA= 2donne. On'1;4. ln 2 Tracer lallure de la courbe defdans un repère orthonormé dunité 5cm. x R On noteFla fonction dénie surRpar :F(x) =f(t)dt. 1 2. (a)CalculerF(x)dans le cas oùx <1. lnx (b) Montrerque si16x6A; F(x) =. DonnerF(A). lnA (c) Montrerque pour tout réelx > A; F(x) = 1. On dit quune variable aléatoireTsuit laloi de Benford de paramètreAlorsque cette variable aléatoireTest une variable à densité, de densitéfet de fonction de répartitionF. On suppose dans toute la suite queXsuit uneloi de Benford de paramètre 10et on remplace doncle réelApar 10 dans les expressions defet deF. 9 3. (a)Montrer que lespérance deXvautE(X) = ln 10 (b) Soienta; betctrois réels tels que :16a < b610,16ac6bc610: Calculer en fonction deaetbles probabilités :P(a < X6b)etP(ac < X6bc). Montrer quelles sont égales.(On dit que laloi de Benfordest invariante par changement déchelle). 2 4. OnnoteYla variable aléatoire dénie parY=X. (a) SoityJustier queun réel strictement inférieur à 1.P(Y6y) = 0: (b) Soityun réel strictement supérieur à100que. JustierP(Y6y) = 1. 3 ln 2 (c) MontrerqueP(Y664) =P(X68) =. ln 10 lny (d) Plusgénéralement, soityun réel appartenant à[1; 100]: MontrerqueP(Y6y) =. 2 ln 10 (e) Déterminerune densité deYet montrer queYsuit uneloi de Benfordde paramètre 100.
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EXERCICE 3
Les parties B et C sont indépendantes
On considère trois urnes :lurneU1contient deux boules rouges et trois boules bleues, lurneU2contient une boule rouge et aucune boule bleue et lurneU3contient une boule bleue et aucune boule rouge.On choisit dabord une de ces trois urnes au hasard avec équiprobabilité.Une fois cette urne choisie, on e¤ectue dans cette urne et sans jamais en changer une série illimitée de tirages dune boule, avec remise dans cette urne.Pouri= 1;2;3 on noteUilévénement :« lurnechoisie pour les tirages est lurneUitout entier naturel non nul» .Pourk, on noteRk:« lek-ième tirage a amené une boule rouge ».
Partie A 1. Justierque les événements (UU ;U ;) forment un système complet dévénements. 1 2 3 Soitk2N:Donner les probabilités conditionnellesP(R),P(R),P(R). U1k U2k U3k 7 En déduireP(Rk) =. 15 2. Soitnun entier naturel non nul. n 2 (a) JustierqueP(R\R=. U11 2\ \Rn) 5 (R \R)e 21\R2\nR2\ \R (b) Préciserles valeurs dePUtPU3(R1\n). n 2 1 1 En déduire par formule des probabilités totales queP(R1\R2\ \Rn+) =. 3 5 3 3. Montrerque les événementsR1etR2ne sont pas indépendants.
Partie B 2 k 1 + () 5 1. Montrerque pour tout entierk>2,P k1Rk) =. R1\R2\\R( 2 k1 1 + () 5 2. OnnoteZla variable aléatoire égale au rang où une boule bleue apparait pour la première fois, et égale à 0 si aucune boule bleue napparait jamais. 8 (a) JustierqueP(Z= 1) =. 15 k) =P(R\R\ \R)P(. (b) Soitun entierk>2que. MontrerP(Z=1 2k1R1\R2\\Rk1Rk) k1 1 2 En déduire grâce aux questions précédentes que pour tout entierk>2,P(Z=k) =. 5 5 +1 P (c) CalculerP(Z= 1) +P(Z=k)et en déduireP(Z= 0). k=2 Partie C Dans cette partie on sintéresse à la variable aléatoireXégale au nombre de tirages ayant amené une boule rougeau cours des 200 premiers tirages.
2 2. Onapprochera toute variableTde loi binomialeB200;par une variableNde loi normaleN(80;48): 5
5N80 5 (a) MontrerqueP(60< T6100)P(<6). 12 48 12 (b) Utilisercette approximation pour montrer queP(60< X6100)'0;11. 5 (On donne:( )'0;66;oùest la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite) 12