Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 19 février 2011
• Nombre de lectures: 587
• Langue: Français

Extrait

EML 2007, option S

PROBLEME 1 Onconside`rel’application ( ln(1 +x) six >0 f: [0;+∞[→R, x7→f(x) = x 1 six= 0 Partie I :Etude de l’application f 1)Montrer quef+est continue sur [0;∞[. 2)lppatacie`di’lerOnconsnio x A+: [0;∞[→R, x7→A(x) =−ln(1 +x). 1 +x A(x) 1 0 a)Montrer quefest de classeCsur ]0;+∞[ et que, pour toutx∈]0; +∞[, f(x.) = 2 x 1 0 b)Montrer quefadmet−ocmmlemitiee0na`.teoidr 2 10 c)euqrerntmo´eDfest de classeC+sur [0;∞sire´rce[etpf(0). d)Dresser le tableau de variation deA. Ende´duirequef+;0[rusetnassioentd´ecrstrictemets∞[. e)rlnemieretD´etidelamifen +∞. 3)ecla’taidp`pelrionsionOnc 2 3x+ 2x B: [0;+∞[→R, x7→B(x) =−+ 2 ln(1 +x) 2 (1 +x) a)Montrer quefestdeuxfoisd´eriavlbseru0]+;∞[, et que, pour toutx∈]0; +∞[, B(x) 00 f(x) =. 3 x b)Dresser le tableau de variation deB. Ende´duirequef+est convexe sur ]0;∞[. 4)atneevitperese´rdeTareclrelacourb’alluredf. PartieII:Und´eveloppementense´rie 1)Montrer, pour toutN∈Net toutt∈:[0; 1] N X N+1N+1 1 (−1)t k k = (−1)t+ 1 +t1 +t k=0 2)nEde´duire,pourtoutN∈Net toutx∈[0; 1]: N X k k+1 (−1)x ln(1 +x+) =J N (x), k+ 1 k=0 Z x N +1N+1 (−1)t o`uonanote´J N (x) =dt. 1 +t 0 N+2 x ´ 3)Etablir, pour toutN∈Net toutx∈[0; 1]:|J N (x)|6. N+ 2 X n−1n (−1)x 4)ouErntdo´uetduireque,px∈sae´ire[;0]1l,onc:eugrevqtee n n>1 +∞ X n−1n (−1)x ln(1 +x) = n n=1

PartieIII:Egalit´ed’uneint´egraleetd’unesommedes´erie 1)asilitunse´reltnM,eertronultatdeII.3., pour toutN∈Net toutx∈[0; 1]: N X k kN+1 (−1)x x f(x)−6  k+ 1  N+ 2 k=0 Z +∞ X X n− 1 1 n−1 (−1) (−1) 2):uetqeergvenocerielas´rquentreoMf(x) dx= . 2 2 n n 0 n>1 n=1 ∗ 3)Montrer, pour toutN∈N:  2N+1N N X XX 1 1 1 = +  22 2  n(2p4+ 1)p n=1p=0p=1 2N+1N N n−1 X XX (−1) 11 =−  22 2  n(2p+ 1)4p n=1p=0p=1 +∞ Z X 2 1 2 1π π 4)Montrer := .On admet quef(x) dx= . 2 n6 12 0 n=1 PartieIV:Recherched’extremumpourunefonctionre´ellededeuxvariablesr´eelles Z x On noteF+: ]0;∞[→R, x7→F(x) =f(t) dt 0 2 etG: ]0;+∞[→R,(x, y)7→G(x, y) =F(xy)−F(x)−F(y). 2 2 1)Montrer queGest de classeC+sur ]0;∞[ . 2 Exprimer, pour tout (x, y)∈]0; +∞seapvie´´drel,se[edsednocesteseeri`empreslliertGen 0 0 0 (x, y) en fonction dex,y,f(x),f(y),f(xy),f(x),f(y),f(xy). ´ 2)Etablir queGadmet (1,1) comme unique point critique. 3)Est-ce queG?admet un extremum local

PROBLEME 2

On notenumonnrfix´esupbreentie´ugela,2e´irueorEle sous-espace vectoriel deR[Xnoc]u´estit n despolynˆomesdedegre´inf´erieuroue´gala`netB= (1, X, . . . , X) la base canonique deE.

´ Partie I : Etude d’un endomorphisme de E   00 2 1)ruot,eopylˆntuopMomequertronPdeE,(lynˆloempeoX−1)Pestnede´em´tleE,`ou   00 2 2 (X−1)Pdemoˆnylopelengiesd´(eseconded´eriv´eeX−1)P.   00 2 On note Φ:E→Eptuonyloiuqnta`,icplioatapl’oˆemPdeE, associe Φ(P() =X−1)P.

2)ire´V=2)1(Φ:refi,Φ(X) = 6X. 3)Montrer que Φ est un endomorphisme deE. k 4)Calculer Φ(X) pour toutk∈[0, nceriatamelircert´]e]Ade Φ dans la baseB. 5)a)Montrer que Φ admetnnoterasrrplaue+v1adx`xdeureopeusdeuqsno’litsietcn λ 0 , λ 1 , . . . , λ n , avecλ 0 < λ 1 <∙ ∙ ∙< λ n . b)Est-ce que Φ est bijectif? c)qreutneridgaeΦtsisabonald´etleetimre,renruoptuotMok∈[0, n]], la dimension du sous-espacepropredeΦassoci´e`aλ k . 2

6)Soientk∈[0, n]] etPurpropredeΦassoc´i`elavalaueprorepretcevnuλ k . a)emoˆnntMorqreeleurgedude´ylopPa`lage´tsek. b)leuerqrentMoeˆnmoopylQfiein´dparQ(X) =P(−X´easeΦcisoorprderpevnuuetc)est `aλ k . 7)e(aseuniquebexisteunriqe’uliEdne´udP 0 , P 1 , . . . , P n ) deEsnocdee´utitteurevecpresspro de Φ telle que, pour toutk∈[0, n]],P k utselopnoˆnyedemdegr´ek, de coefficient dominant k ´egala`1etve´rifiantP k (−X) = (−1)P k (X). Quepeut-onende´duiresurlaparit´edeP k ? 8)CalculerP 0 ,P 1 ,P 2 ,P 3 . Partie II :Un produit scalaire surE Z 1 2 1)Montrer que l’application : (P, Q)7→(P|Q) =(1−x)P(x)Q(x) dxest un produit −1 scalaire surE. Onmunitdore´navantE(e´tonerilacatsuiodprcede.|.). ` 2)a)ei,se´atlbriuqΦeestunendomorphisAia’l’ded´tniraegontiarsprtpate´mysemedeuqirE. b)Montrer que la base (P 0 , P 1 , . . . , P n ) deEstuenioobtealaqnue`I.7est orthogonale. Soitj∈[1, n]]. 3)a)MontrmeˆoyntruoptloreuqpeuoSeir´egedd`alage´uorueire´fnj−1, on a :(S|P j ) = 0. b)´1drennoa(itsEcn|P j ), montrer queP j ne garde pas un signe constant sur l’intervalle ]−1; 1[. c)equeEdne´udriP j admet au moins, dans l’intervalle ]−eic´tpiilmultrede’ordined;11un[,acer impair. 4)On note{x 1 , . . . , x m }ic´tiepmumtlpiil’ordrederacinesdsedelbmesne’lrdaieP j appartenant a`l’intervalle]−1; 1[etS m = (X−x 1 )(X−x 2 ). . .(X−x m ). a)Justifier :m6j. b)ˆnylemontreMoleporqueS m P j (dorptduipoesnˆlyesomS m etP j ) garde un signe constant sur l’intervalle ]−1; 1[. c)t(nare´disnocnES m |P j ), montrer quem=j. d)e´udEdneqirueP j admetjraselpee´renicmissessitu´ellestoutnietvrlaeslea]dsn’l−1,1[.

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