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Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (ECS) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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EML 2007, option S
PROBLEME 1 Onconside`relapplication ( ln(1 +x) six >0 f: [0;+[R, x7→f(x) = x 1 six= 0 Partie I :Etude de l’application f 1)Montrer quef+est continue sur [0;[. 2)lppatacie`dilerOnconsnio x A+: [0;[R, x7→A(x) =ln(1 +x). 1 +x A(x) 10 a)Montrer quefest de classeCsur ]0;+[ et que, pour toutx]0; +[, f(x.) = 2 x 1 0 b)Montrer quefadmetocmmlemitiee0na`.teoidr 2 10 c)euqrerntmo´eDfest de classeC+sur [0;sire´rce[etpf(0). d)Dresser le tableau de variation deA. Ende´duirequef+;0[rusetnassioentd´ecrstrictemets[. e)rlnemieretD´etidelamifen +. 3)eclataidp`pelrionsionOnc 2 3x+ 2x B: [0;+[R, x7→B(x) =+ 2 ln(1 +x) 2 (1 +x) a)Montrer quefestdeuxfoisd´eriavlbseru0]+;[, et que, pour toutx]0; +[, B(x) 00 f(x) =. 3 x b)Dresser le tableau de variation deB. Ende´duirequef+est convexe sur ]0;[. 4)atneevitperese´rdeTareclrelacourballuredf. PartieII:Und´eveloppementense´rie 1)Montrer, pour toutNNet toutt:[0; 1] N X N+1N+1 1 (1)t k k = (1)t+ 1 +t1 +t k=0 2)nEde´duire,pourtoutNNet toutx[0; 1]: N X k k+1 (1)x ln(1 +x+) =JN(x), k+ 1 k=0 Z x N+1N+1 (1)t o`uonanote´JN(x) =dt. 1 +t 0 N+2 x ´ 3)Etablir, pour toutNNet toutx[0; 1]:|JN(x)|6. N+ 2 X n1n (1)x 4)ouErntdo´uetduireque,pxsae´ire[;0]1l,onc:eugrevqtee n n>1 +X n1n (1)x ln(1 +x) = n n=1
PartieIII:Egalit´eduneint´egraleetdunesommedes´erie 1)asilitunse´reltnM,eertronultatdeII.3., pour toutNNet toutx[0; 1]: N X k kN+1 (1)x x f(x)6 k+ 1N+ 2 k=0 Z+X X n1 1n1 (1) (1) 2):uetqeergvenocerielas´rquentreoMf(x) dx= . 2 2 n n 0 n>1n=1 3)Montrer, pour toutNN: 2N+1N N X XX 1 1 1 = + 22 2 n(2p4+ 1)p n=1p=0p=1 2N+1N N n1 X XX (1) 11 =22 2 n(2p+ 1)4p n=1p=0p=1 +Z X 2 12 1π π 4)Montrer := .On admet quef(x) dx= . 2 n6 12 0 n=1 PartieIV:Recherchedextremumpourunefonctionre´ellededeuxvariablesr´eelles Z x On noteF+: ]0;[R, x7→F(x) =f(t) dt 0 2 etG: ]0;+[R,(x, y)7→G(x, y) =F(xy)F(x)F(y). 2 2 1)Montrer queGest de classeC+sur ]0;[ . 2 Exprimer, pour tout (x, y)]0; +seapvie´´drel,se[edsednocesteseeri`empreslliertGen 0 0 0 (x, y) en fonction dex,y,f(x),f(y),f(xy),f(x),f(y),f(xy). ´ 2)Etablir queGadmet (1,1) comme unique point critique. 3)Est-ce queG?admet un extremum local
PROBLEME 2
On notenumonnrx´esupbreentie´ugela,2e´irueorEle sous-espace vectoriel deR[Xnoc]u´estit n despolynˆomesdedegre´inf´erieuroue´gala`netB= (1, X, . . . , X) la base canonique deE.
´ Partie I : Etude d’un endomorphisme de E   00 2 1)ruot,eopylˆntuopMomequertronPdeE,(lynˆloempeoX1)Pestnede´em´tleE,`ou   00 2 2 (X1)Pdemoˆnylopelengiesd´(eseconded´eriv´eeX1)P.  00 2 On note Φ:EEptuonyloiuqnta`,icplioataploˆemPdeE, associe Φ(P() =X1)P.
2)ire´V=2)1(Φ:re,Φ(X) = 6X. 3)Montrer que Φ est un endomorphisme deE. k 4)Calculer Φ(X) pour toutk[0, nceriatamelircert´]e]Ade Φ dans la baseB. 5)a)Montrer que Φ admetnnoterasrrplaue+v1adx`xdeureopeusdeuqsnolitsietcn λ0, λ1, . . . , λn, avecλ0< λ1<∙ ∙ ∙< λn. b)Est-ce que Φ est bijectif? c)qreutneridgaeΦtsisabonald´etleetimre,renruoptuotMok[0, n]], la dimension du sous-espacepropredeΦassoci´e`aλk. 2
6)Soientk[0, n]] etPurpropredeΦassoc´i`elavalaueprorepretcevnuλk. a)emoˆnntMorqreeleurgedude´ylopPa`lage´tsek. b)leuerqrentMoeˆnmoopylQein´dparQ(X) =P(X´easeΦcisoorprderpevnuuetc)est `aλk. 7)e(aseuniquebexisteunriqeuliEdne´udP0, P1, . . . , Pn) deEsnocdee´utitteurevecpresspro de Φ telle que, pour toutk[0, n]],Pkutselopnoˆnyedemdegr´ek, de coefficient dominant k ´egala`1etve´riantPk(X) = (1)Pk(X). Quepeut-onende´duiresurlaparit´edePk? 8)CalculerP0,P1,P2,P3. Partie II :Un produit scalaire surE Z 1 2 1)Montrer que l’application : (P, Q)7→(P|Q) =(1x)P(x)Q(x) dxest un produit 1 scalaire surE. Onmunitdore´navantE(e´tonerilacatsuiodprcede.|.). ` 2)a)ei,se´atlbriuqΦeestunendomorphisAialded´tniraegontiarsprtpate´mysemedeuqirE. b)Montrer que la base (P0, P1, . . . , Pn) deEstuenioobtealaqnue`I.7est orthogonale. Soitj[1, n]]. 3)a)MontrmeˆoyntruoptloreuqpeuoSeir´egedd`alage´uorueire´fnj1, on a :(S|Pj) = 0. b)´1drennoa(itsEcn|Pj), montrer quePjne garde pas un signe constant sur l’intervalle ]1; 1[. c)equeEdne´udriPjadmet au moins, dans l’intervalle ]eic´tpiilmultredeordined;11un[,acer impair. 4)On note{x1, . . . , xm}ic´tiepmumtlpiilordrederacinesdsedelbmesnelrdaiePjappartenant a`lintervalle]1; 1[etSm= (Xx1)(Xx2). . .(Xxm). a)Justifier :m6j. b)ˆnylemontreMoleporqueSmPj(dorptduipoesnˆlyesomSmetPj) garde un signe constant sur l’intervalle ]1; 1[. c)t(nare´disnocnESm|Pj), montrer quem=j. d)e´udEdneqiruePjadmetjraselpee´renicmissessitu´ellestoutnietvrlaeslea]dsnl1,1[.
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