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Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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ECRICOME 2007 voie T
1. EXERCICE. On considère la fonctionfdéterminée sur]0;+1[par : x1 + lnx f(x) =x+ 1 + 2 x On se propose dans cet exercice détudier la fonctionfet de la représenter rela-!! tivement à un repère orthonormal(; jO; i), lunité choisie étant le cm.
1.1. Etude dune fonction g auxiliaire. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[par : +3 8x2Rg(x) =xx+ 32 lnx 3 1. SoitPla fonction polynôme déterminéeP(x) = 3xx2. 1. ProuverquePest factorisable parx1. 2. EcrireP(x)sous la forme dun produit dex1par un polynômeQ(x) que lon déterminera. 3. Détermineralors le signe deP(x)surR. 0 2. Vérierque la fonction dérivéegpeut sécrire : P(x) + 0 8x2Rg(x) = x 3. Endéduire les variations degsur son domaine détude.
4. Montrerque :
+8x2Rg(x)>0
1.2. Etude de la fonctionf. 1. Déterminerla limite def(x)lorsquextend vers0par valeurs positives. Que peut-on en déduire pour la représentation graphique def, notéeCf? 1. Déterminerla limite def(x)lorsque quextend vers+1. 2. Montrerque la droite()déquationy=x+ 1est asymptote àCfau voisinage de+1. 3. Montrerque sur[1;+1[, la courbeCfest au-dessus de la droite(). 2. Ondonne le tableau de valeurs suivant : x0;5 3 f(x)3;3 4;3 0 1. Vérierque la fonction dérivéefpeut sécrire : g(x) + 0 8x2Rf(x) = 3 x 2. Endéduire les variations def. 3. Donnerlallure deCfet tracer la droite(): 4. Hachurerla partie du plan comprise entreCf,()et les deux droites déquationx= 1etx=e. 5. Ecrire,à laide dune intégrale, la valeur de laire de la partie hachurée du plan. 6. A laide dune intégration par parties, déterminer la valeur de cette intégrale.
2. EXERCICE. On se propose de déterminer la suite de réels(un)n2Nvériant la relation de récurrence : Pour tout entier natureln:un+2= 5un+16un avecu0= 1etu1= 1 A cet e¤et on dénit la matriceApar :   56 A= 1 0
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eme 2.1. Calcul de la puissancendeA: On considère les matrices à coe¢ cients réelsBetCdénies par :    36 26 B=; C= 12 13 1. CalculerBCetCB. 2. Montrer,par récurrence, que pour tout entier naturelnnon nul : n nn1 B=B,C= (1)C 3. Vérierque lon a : 2 A= 5A6I Iest la matrice carrée unité dordre2. 1 4. Etablirque la matriceAest-inversible et exprimerAen fonction deAet I. 5. Montrer,par récurrence, que pour tout entier natureln: n nn A= 3B2C La relation précédente est-elle encore vraie pourn=1. Cest-à-direa-t-on : 1 1 1 A=BC? 3 2 6. Montrerque pour tout entier natureln:   n1 1 1 A=BC n n 3 2 2.2. Expression deunen fonction den. 1. Vérierque pour tout entier natureln:    u u n+2n+1 =A un+1un 2. Montrerpar récurrence que pour tout entier natureln:   un+1n1 =A un1 3. Donnerainsi lexpression deunen fonction den.
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3. EXERCICE. Soucieux de mieux connaître sa clientèle, un gérant de magasin a réalisé une étude :
3.1. Etude du temps moyen dattente en caisse. Après enquête, on estime que le temps dattente en caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoireTdont une densité de probabilité est donnée par la fonctionfdénie par : 8 2 < f(x) =six>0 3 (x+ 1) : f(x) = 0six <0 On suppose que les temps dattente successifs dune même personne lors des dif-férents passages en caisse sont indépendants. 1. Vérierquefest bien une densité de probabilité.
2. OnnoteFTla fonction de répartition de la variableTque :. Démontrer 8 1 < FT(x) = 1six>0 2 (x+ 1) : FT(x) = 0six <0
3. Vérierque la probabilité que le temps dattente en caisse soit supérieur à 1 quatre unités (de temps) est égale à. 25 4. Quelleest la probabilité que le temps dattente en caisse soit inférieur à cinq unités sachant quil est supérieur à quatre unités ? 5. Pendant125jours une même personne se présente à la caisse. On noteXla variable aléatoire représentant le nombre de fois où cette personne attend plus de quatre unités à la caisse.
1. Déterminerla loi deX. 2. Donnerla valeur de lespérance et de la variance deX.
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6. Plusimpatient, un autre client décide de passer à la concurrence le jour où il attend plus de quatre unités à la caisse. On noteYla variable aléatoire qui comptabilise le nombre de fois où ce client sest présenté à la caisse de ce magasin avant de passer à la concurrence, si cet événement se produit.
1. Déterminerla loi deY. 2. Donnerla valeur de lespérance et de la variance deY.
3.2. Mode de paiement de la clientèle.
Létude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis détablir les probabilités suivantes :
P[S= 0\U= 0] = 0:4 P[S= 0\U= 1] = 0:3 P[S= 1\U= 0] = 0:2 P[S= 1\U= 1] = 0:1
Sreprésente la variable aléatoire prenant la valeur0si le montant des achats est inférieur ou égal à50euros, prenant la valeur1sinon, etUla variable aléatoire prenant la valeur0si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur1 sinon.
1. Déterminerles lois deSetU. 2. Calculer la covariance du couple(S; U). LesvariablesSetUsont-elles indé-pendantes ? 3. Quelleest la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
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