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Mathématiques 2007 ENAC

13 pages
Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.
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´ ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE ANNEE 2007
CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTES DE LIGNE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Duree : 2 Heures ´ Coefficient : 1
Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages (recto-verso) d’instructions pour remplir le QCM, 1 page d’avertissement 9pagesdetexte,nume´rt´esde1a`9. o e
CALCULATRICE AUTORISEE
ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE
EPL/S 2007
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ` A LIRE TRES ATTENTIVEMENT Le´preuvedemath´ematiquesdececoncoursestunquestionnaire`achoixmultiplequiseracorrige ´ automatiquementparunemachine`alectureoptique.
´ ´ ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRE QU’UN SEUL QCM
1)Vousdevezcollerdanslapartiedroitepre´vuea`ceteet,l´etiquettecorrespondant`al´epreuve que vous passez ,cest-a`-dire´epreuvedemath´ematiques(voirmode`leci-dessous).
´ POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES
Pourpermettrelalectureoptiquedele´tiquette,letraitverticalmate´rialisantlaxedelectureducode a`barres(enhauta`droitedevotreQCM)doittraverserlatotalite´desbarresdececode. EXEMPLES : BON
MAUVAIS
MAUVAIS
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3)Utilisezlesujetcommebrouillonetneretranscrivezvosre´ponsesquapre`svouseˆtrerelusoigneu-sement. 4)VotreQCMnedoitpasˆetresouille´,froisse´,pli´e,e´corne´ouporterdesinscriptionssuperues,sous peinedˆetrerejet´eparlamachineetdenepaseˆtrecorrig´e.
5)Cette´epreuvecomporte36questions,certis,de´conse´cutifs,sontlie´es.Lalistedes a ne numeros questionsli´eesestdonne´eavantl´enonc´edusujetlui-meˆme. Chaquequestioncomporteauplusdeuxre´ponsesexactes. 6)Achaquequestionnume´rote´eentre1et36,correspondsurlafeuille-re´ponsesunelignedecases quiportelemeˆmenum´ero.Chaquelignecomporte5casesa,b,c,d,e. Pourchaquelignenum´erote´ede01a`36,vousvoustrouvezenfacede4possibilite´s: soitvousde´cidezdenepastraitercettequestion, la ligne correspondante doit rester vierge. soitvousjugezquelaquestioncomporteuneseulebonner´eponse vous devez noircir l’une des cases a, b, c, d. soitvousjugezquelaquestioncomportedeuxre´ponsesexactes, vous devez noircir deux des cases a, b, c, d et deux seulement. soitvousjugezquaucunedesr´eponsespropose´esa,b,c,dnestbonne, vous devez alors noircir la case e. Attention,toutere´ponsefausseentraˆınepourlaquestioncorrespondanteunep´enalite´ dans la note. ´ 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 1 2 + 2 2 vaut : A) 3 B) 5 C) 4 D) -1 Question 2 : le produit ( 1)( 3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question3:Uneracinedele´quation x 2 1 = 0 est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vousmarquerezsurlafeuiller´eponse:
1
2
3
a
a
a
b
b
b
c
c
c
d
d
d
e
e
e
EpreuvedeMath´ematiques Concours EPL/S 2007
QUESTIONS LIEES
1 5
10 22
33
` a ` a
a ` a `
` a
4 9
21 32
36
PARTIEI
Ond´esignepar j le nombre complexe e 2 iπ 3 .0nconside`relesyste`me( E ) x + y + z = a x + jy + j 2 z = b x + j 2 y + jz = c ou` a , b , c de´signenttroisnombrescomplexesdonne´s.
Question 1. Le nombre complexe j ve´rie A) j 2 = 1 3 B) j 1 = 0 C) 1 + j + j 2 = 0 D) 1 j j 2 = 0
Question 2. Les nombres complexes x , y et z v´eriantlesyste`me( E ) sont tels que A) 3 y + ( x + z )(1 + j + j 2 ) = a + bj 2 + cj B) 3 y + ( x + z )(1 + j + j 2 ) = a + b + c C) 3 y + ( x + z )(1 + j + j 2 ) = a + bj + cj 2 D) 3 x + ( y + z )(1 + j + j 2 ) = a + bj 2 + cj
Question 3. Lesyst`eme( E ) A) n’admet pas de solution B) admet au moins deux solutions C) admet une solution unique x = ( a + b + c ) 3 y = ( a + bj 2 + cj ) 3 z = ( a + bj + cj 2 ) 3 D) admet une solution unique x = ( a + b + c ) 3 y = ( a + bj + cj 2 ) 3 z = ( a + bj 2 + cj ) 3
Question 4. Uneconditionne´cessaireetsusantepourque x , y , z ve´riantlesyst`eme( E ) soient des nombres re´elsest A) a , b , c r´eels B) a , b , c complexesnonre´els C) a re´elet b = c = 0 D) a r´eelet b et c complexesconjugu´escar j 2 et ( j )sontcomplexesconjugu´es 1
PARTIE II
n ´etantunentiernaturelet α unnombrere´elnonnulonpose u n = Z 0 π e αx cos nx dx et v n = Z 0 π e αx sin n x dx
Question 5. u n ve´riepourtout n entier naturel A) u n = (1 αn ) [ e αx sin nx ] 0 π pour n entier strictement positif et u 0 = ( e απ 1) α B) u n = (1 α ) [ e αx (cos nx ( nα ) sin αx )] π 0 + ( n 2 α 2 ) u n C) u n = (1 ( n 2 + α 2 )) [ e αx ( α cos nx + n sin nx )] 0 π D) u n = (1 ( n 2 α 2 ))(( 1) n e απ α α )
Question 6. v n satisfait, pour tout n entier naturel non nul A) v n = (1 αn ) [ e αx cos nx ] π 0 B) v n = (1 α ) [ e αx (sin nx ( nα ) cos nx )] π 0 ( n 2 α 2 ) v n C) v n = (1 ( n 2 α 2 )) [ e αx ( n cos nx α sin nx )] π 0 D) v n = (1 ( n 2 + α 2 ))(( 1) n +1 ne απ + n )
Question 7. La valeur absolue de u n est, pour tout n entiernaturel,majo´eepar r A) | α | ( n 2 + α 2 ) B) | α | (1 + e απ ) | n 2 α 2 | et celle de t m j ´ v n es a oree par C) n (1 e απ ) ( n 2 + α 2 ) D) (1 + e απ ) ( αn )
2
Question 8. La suite ( v 2 k ), k entierstrictementpositif,este´quivalentea`lasuitedetermeg´en´eral A) (1 e απ ) (2 k ) B) (1 + e απ ) k C) 1 (2 k ) D) 1 k
Question 9. A) les suites ( u n ) et ( v n )nepeuventˆetreconvergentescarellesnesontpasdesigneconstant B) les suites ( u n ) et ( v n )convergentcartoutesuitemajore´eestconvergente C) la suite ( u n ) converge vers 0 D) la suite ( u n )divergecarlasuitedetermeg´ene´ralcos nx n’admet pas de limite
PARTIE III
Onconsid`erelesfonctions ϕ 1 quia` u e´l´ementdusegment I = [0  π 2], associe ϕ 1 ( u ) = 1 ( x 2 (cos u ) 2 + (sin u ) 2 ) et ϕ 2 quia` u e´le´mentdusegment I associe ϕ 2 ( u ) = (sin u ) ( x 2 (cos u ) 2 + (sin u ) 2 ), x ´etantunparame`trere´el.
Question 10. La fonction ϕ 1 A)estde´niesur I pour tout x r´eel B)estde´niesur I pour tout x r´eelpositifounul C)estd´enieetcontinuesur I pour x r´eelstrictementpositif D) est continue sur I uniquement pour x re´elstrictementpositif
Question 11. La fonction ϕ 2 A)estde´rivablesur I pour tout x r´eelnonnul B)estd´erivablesur I pour tout ´ l x ree C)estd´erivablesur]0  π 2] pour tout x r´eeletapourde´rivee ´ ϕ 2 ( u ) = ( x 2 (cos u ) 3 + 2( x 2 1 2)(cos u )(sin u ) 2 ) ( x 2 (cos u ) 2 + (sin u ) 2 ) 2 D)apourd´erive´epourtout u appartenant I et pour tout x re´elstrictementpositif ϕ 2 ( u ) = (cos u ) (1 x 2 )(sin 2 u )
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