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Mathématiques 2008 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.
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EML Eco 2008
EXERCICE 1 On admet lencadrement suivant :2;7< e <2;8..
Partie I : Étude dune fonction On considère lapplicationf: [0;+1[!Rdénie, pour toutt2[0;+1[par : tln (t)tsit6= 0 f(t) = 0sit= 0
1. Montrerquefest continue sur[0;+1[. 10 2. Justierquefest de classeCsur]0;+1[et calculerf(t)pour toutt2]0;+1[ 3. Déterminerla limite defen+1. 4. Dresserle tableau des variations def. 5. Montrerquefest convexe sur]0;+1[.   ~ ~ 6. Onnotela courbe représentative defdans un repère orthonormalO;i;j
a) Montrerqueadmet une demi-tangente enO. b) Déterminerles points dintersection deavec laxe des abscisses. c) Préciserla nature de la branche innie de. d) Tracer
Partie II : Étude dune fonction dénie par une intégrale On considère lapplicationG: ]1 ;+1[!Rdénie, pour toutx2+]1 ;1[, par : Z x+1 1 G(x) =f(t)dt 2 x1 2 1. MontrerqueGest de classeCsur]1 ;+1[et que, pour toutx2]1 ;+1[: 1 0 G(x) =(f(x+ 1)f(x1)) 2 1 00 etG(x(ln () =x+ 1)ln (x1)) 2 À cet e¤et, on pourra faire intervenir une primitiveFdefsans chercher à calculerF. 0 2. a)Montrer queGest strictement croissante sur]1 ;+1[: 0 b) Vérier:G(2)>0. 0 c) Établir que léquationG(x) = 0, dinconnuex2+]1 ;1[, admet une solution et une seule, notée, et que <2
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Partie III : Étude dune fonction de deux variables réelles 2 2 On considère lapplication : ]1 ;+1[!Rdénie, pour tout(x; y)2+]1 ;1[, par :
2 2  (x; y) = (yf(x+ (+ 1))yf(x1))
où lapplicationfest dénie dans la partieI. 2 2 1. Justierqueest de classeCsur+]1 ;1[et calculer les dérivées partielles premières de2 en tout(x; y)de+]1 ;1[. 2. Vérierque(; f(+ 1))est un point critique de. oùest déni enII 2.c. 3. Est-cequeadmet un extremum local en(; f(+ 1))?
EXERCICE 2 On considère les matrices carrées dordre trois suivantes : 0 10 10 1 1 1 12 1 10 0 0 @ A@ A@ A A= 0 01; B=321; D= 01 0 221 00 0 11 1
Partie I : Réduction simultanée deAetB 1. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres deA. 2. Endéduire une matrice carréePdordre trois, inversible, de deuxième ligne(1 1 1), telle 11 queA=PP D, et calculerP. 1 3. Calculerla matriceC=P BPet vérier queCest diagonale.
Partie II : Étude dun endomorphisme dun espace de matrices On noteElespace vectoriel des matrices carrées dordre trois, et on considère lapplicationf:E!E qui, à toute matriceMcarrée dordre trois, associef(M) =AMM B: 1. Donnerla dimension deE. 2. Vérierquefest un endomorphisme deE. 1 3. SoitM2E. On noteN=P MP, oùPest dénie enI.2. a) Montrer:M2ker (f)()DN=N C: b) Déterminerles matricesNcarrées dordre trois telles que :DN=N C: c) Montrerque lensemble des matricesNcarrées dordre trois telles queDN=N Cest un espace vectoriel, et en déterminer une base et la dimension. 4. a)En déduire la dimension deker (f), puis la dimension deIm (f). b) Donnerau moins un élément non nul deker (f)et donner au moins un élément non nul deIm(f):
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EXERCICE 3 Les partiesIetIIsont indépendantes.
Partie I : Étude dune variable aléatoire 1. Soithla fonction dénie sur lintervalle[0; 1]par : x 8x2[0; 1]; h(x) = 2x 1 a) Montrerquehest une bijection de[0; 1]sur[0; 1]et, pour touty2[0; 1], exprimerh(y): b) Déterminerdeux réelsetvériant :8x2[0; 1]; h(x) =+ 2x R 1 c) Calculerh(x)dx. 0 2. SoitXune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur lintervalle[0; 1] a) Donnerlespérance et la variance de la variable aléatoireX.   X b) Pourtout réelyde[0; 1]déterminer la probabilité de lévénementy 2X X c) Montrerque la variable aléatoireY=admet une densité et déterminer une densité 2X deY: d) MontrerqueYadmet une espéranceE(Y)-et déterminer
Partie II : Étude dun temps dattente Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est prévue entreninvités que lon note I1; I2  ; In. Chaque invité arrivera entre linstant0et linstant1. Pour tout entierktel que1kn, on modélise linstant darrivée de linvitéIkpar une variable aléatoireTkde loi uniforme sur lintervalle[0; 1]. On suppose de plus que, pour tout réelt, lesn événements(T1t),(T2t),  (Tnt), sont indépendants. 1. Soitun réeltappartenant à[0; 1]. Pour tout entierktel que1kn, on noteBkla variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur1si lévénement(Tkt)est réalisé et la valeur0sinon. On noteSt=B1+B2+  +Bn: a) Quemodélise la variable aléatoireSt? b) Déterminerla loi de la variable aléatoireSt. 2. SoitR1la variable aléatoire égale à linstant de la première arrivée. a) Soitun réeltappartenant à[0; 1]. Comparer lévénement(R1> t)et lévénement(St= 0) b) Montrerque la variable aléatoireR1admet une densité et en déterminer une. 3. SoitR2la variable aléatoire égale à linstant de la deuxième arrivée. Montrer que la variable aléatoireR2admet une densité et en déterminer une.
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