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Mathématiques 2008 ENAC

13 pages
Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.
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´ ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE ANNEE 2008
CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTES DE LIGNE
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Du ´ee : 2 Heures r Coefficient : 1
Ce sujet comporte : 1 page de garde, 2 pages (recto-verso) d’instructions pour remplir le QCM, 1 page d’avertissement 10pagesdetexte,num´erot´eesde1`a10.
CALCULATRICE AUTORISEE
ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE
EPL/S 2008
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ` A LIRE TRES ATTENTIVEMENT Le´preuvedemathe´matiquesdececoncoursestunquestionnaireachoixmultiplequiseracorrige ` ´ automatiquementparunemachine`alectureoptique.
´ ´ ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRE QU’UN SEUL QCM
1)Vousdevezcollerdanslapartiedroitepre´vuea`ceteet,l´etiquettecorrespondanta`l´epreuve que vous passez ,cest-a`-diree´preuvedemath´ematiques(voirmod`eleci-dessous).
´ POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES
Pourpermettrelalectureoptiquedel´etiquette,letraitverticalmate´rialisantlaxedelectureducode a`barres(enhauta`droitedevotreQCM)doittraverserlatotalite´desbarresdececode. EXEMPLES : BON
MAUVAIS
MAUVAIS
2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3)Utilisezlesujetcommebrouillonetneretranscrivezvosr´eponsesquapr`esvouseˆtrerelusoigneu-sement. 4)VotreQCMnedoitpaseˆtresouille´,froiss´e,pli´e,´ecorne´ouporterdesinscriptionssuperues,sous peinedˆetrerejet´eparlamachineetdenepasˆetrecorrige´.
5)Cettee´preuvecomporte36questions,certaide´nse´cutifs,sontli´ees.Lalistedes nes, numeros co questionslie´esestdonne´eavantl´enonc´edusujetlui-meˆme. Chaquequestioncomporteauplusdeuxre´ponsesexactes. 6)Achaquequestionnum´erote´eentre1et36,correspondsurlafeuille-r´eponsesunelignedecases quiportelemˆemenum´ero.Chaquelignecomporte5casesa,b,c,d,e. Pourchaquelignenum´erot´eede01a`36,vousvoustrouvezenfacede4possibilite´s: soitvousde´cidezdenepastraitercettequestion, la ligne correspondante doit rester vierge. soitvousjugezquelaquestioncomporteuneseulebonner´eponse vous devez noircir l’une des cases a, b, c, d. soitvousjugezquelaquestioncomportedeuxr´eponsesexactes, vous devez noircir deux des cases a, b, c, d et deux seulement. soitvousjugezquaucunedesre´ponsespropos´eesa,b,c,dnestbonne, vous devez alors noircir la case e. Attention,toutere´ponsefausseentraˆınepourlaquestioncorrespondanteunep´enalite´ dans la note. ´ 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 1 2 + 2 2 vaut : A) 3 B) 5 C) 4 D) -1 Question 2 : le produit ( 1)( 3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question3:Uneracinedele´quation x 2 1 = 0 est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vousmarquerezsurlafeuiller´eponse:
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a
a
a
b
b
b
c
c
c
d
d
d
e
e
e
EPL Mathmatiques
Question 1. Dans les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? A) θ R cos 5 θ = 16 cos 5 θ + 5 cos θ . B) θ R cos 5 θ = 16 cos 5 θ 20 cos 3 θ + 5 cos θ . 5 + 5 C) cos 1 π 0 = . 8 D) cos 1 π 0=5 85carcos1 π 0 6 cos π . 3
Question 2. Soitleplanrapport´ea`unrep`ereorthonorme´direct( O i −→ j ).Onconsid`erealorslespoints I (1 2), M (2 3) et M ( 3 3 + 3). La similitude de centre I qui transforme M en M est alors : A) de rapport 2, B) d’angle π 4 , 1 C) de rapport 2 , D) d’angle π . 3
Question 3. Soit n N .Oncherchea`re´soudre k = n X 1 nk cos(2 )=0ou` θ estuneinconnuer´eelle. A) Si θ est solution a n 1   sin 2 ( ) = 2 n . lors X kn k = n B) X n k =1 k cos(2 ) = cos( ) co2s θ n . C) L’ensemble des solutions est π + kπk Z n 2 π + kπ k Z o . n n D)Ilnyapasdesolution`acette´equation.
Question 4. Onconside`relapplication f quia`toutcomplexe z 6 = i associe f ( ) = zz + ii z . On note U = { z C | z | = 1 } et i R = { z C Re( z ) = 0 } . A) f est une bijection de C \ { i } dans C . B) f ( i R ) = U . C) f ( U ) = i R \ { i } . D) f ( i R ) = R .
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Question 5. On cherche le lieu des points d’affixe z tels que z , z 2 et z 5 soientlesaxesdetroispointsalign´es. On note H cet ensemble de points et H c l’ensemble de leurs affixes. A) z H c z i R ou z 3 + z 2 + z est imaginaire pur. B) Im( z 3 + z 2 + z ) = 3(Re( z )) 2 (Im( z )) 2 + 2Re( z ) + 1. C) H estunehyperbolee´quilate`recentre´een 31 0 degrandaxeparall`ele`alaxedes imaginaires,dedemigrandaxe32. D) H contientunehyperbolecentr´eeen 13 0 degrandaxeparalle`lea`laxedesimaginaires, dedemigrandaxe23etdontlesasymptotesontcommecoecientsdirecteurs3et 3.
Question 6. Onconsid`erelessuites( u n ) n > 2 et ( v n ) n > 2 de´niespar: n n > 2  u n = Y cos2 π k et v n = u n sin2 π n k =2 A) ( u n ) n > 2 estcroissanteetmajore´epar1.Elleconvergedonc. B) ( v n ) n > 2 estunesuiteg´eom´etriquederaison21. C) ( u n ) n > 2 et ( v n ) n > 2 sont adjacentes. D) ( u n ) n > 2 convergevers21. Attention:questions7et8lie´es Question 7. Soitlafonctionr´eelle f de la variable t d´fi ie pa e n r : t > 0  f ( t ) = ln(1 + t ) t 2 + 1 + t 2 A) f estinde´nimentde´rivablesursonensembledede´nition,croissanteetconcave i ue im f ( t )=1. B)Lacourberepr´esentativede f admet une asymptote obl q en + car t l + t C) f r´ealiseunebijectionde R + sur R + etsare´ciproqueestd´erivablesur R + car t > 0  f ( t ) 6 = 0. D) f r´ealiseunebijectionde R + sur R + etsar´eciproqueestd´erivablesur R + car toute bijection de´rivableadmetuner´eciproqued´erivable.
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Question 8. En utilisant f d´enieenquestion7),onpeutmontrerque n N ! a n  f ( a n ) = n 1. A) ( a n ) n N est une suite croissante car f 1 estde´croissanteet n 1 estd´ecroissante n N B) ( a n ) n N converge vers 0 puisque f 1 est continue en 0. C) ( a n ) n N converge vers 0 puisque ( a n ) n N estunesuited´ecroissanteet n N , a n > 0. 1 D . ) a nn + n
Question 9. On suppose que f est une fonction continue sur R admettant une limite en + et a unre´el strictement positif. A) y 7→ Z 0 y f ( t ) dt est continue sur [ y y + a ]etd´erivablesur] y y + a [, y R . y + Z yy + a f B) lim ( t ) dt = aℓ . X C) lim + Z f ( t + a ) f ( t ) dt = Z 0 a f ( t ) dt + aℓ . X 0 D) X l im + Z 0 X Arctan( t + 1) Arctan t dt =21ln2 4 π .
Question 10. Oncherche`acomparer e x avecsond´eveloppementlimit´e: n +1 A) θ ]0 1[ n N  e x = nk X +01 xk k ! + ( nx + 1)! e θx . = B) x R n N  e x > 2 n X +1 x k k !. k =0 C) x R n N  e x > 2 X n x k k ! . k =0 D) x R n N  e x 6 2 X n x k k !. k =0
Question 11. Soient a et b deuxfonctionsre´elles`avaleursstrictementpositivesdelavariabler´eelle x et α R telles que a ( x ) b ( x ). α A) Il existe une fonction ǫ d´eniesurunvoisinagede α avec lim ǫ ( x ) = 0 et ln( a ( x )) = x α ln( b ( x )) + ln(1 + ǫ ( x )). B) ln( a ( x )) ln( b ( x )). α + x 2 x 1 + x . C) ln(1 2 + sin 2 x ) 0 ln(1 + x ) car 1 + 2 x + sin 0 D) ln( | sin x | ) 0 ln( | x | ) car | sin x | ∼ 0 | x | et que | x | 6 = 1 sur un voisinage de 0.
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