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Mathématiques 2009 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.
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Mathématiques
Durée : 3 heures.- Coefficient : 3 Les exercices sont indépendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1
Soit (ABC) un triangle etpun réel de l'intervalle .On considère les points ,et définispar :
Dans le plan complexe, on notea,bet cles affixes des points respectifs A, B, C, eta,betcles affixes des  pointsrespectifs ,, . Fig. 1 On note, on rappelle que, etque . 1. Montrer queDéterminer de même les affixeset despoints B' et C' en fonction dea, b, cetp. 2. Démontrer que les triangleset ontle même centre de gravité G d'affixeg. 3. On considère l'application linéairehassocie le tripletde dans quiau triplet .
On pose
,
,
,
,
,
3.a. Déterminer la matriceAtelle que. 3.b. Exprimer la matriceAà l'aide des matricesIetJ. 4.a. Calculer le polynôme caractéristique deJet déterminer les valeurs propres deJà l'aide de et . 4.b. Déterminer la matriceD,diagonale telle quePétant la matrice définie plus haut. 5.a. Exprimeren fonction deK. 5.b. Calculer. 5.c. Exprimeren fonction dePet deK; puis calculer explicitement. P 1/4
6. Déterminer la matriceΔdiagonale telle que
On considère la suite
définie par
,
.
7.a. Calculeren fonction du nombre réelp. 7.b. En déduire que pour, et 7.c. Détermineret 7.d. On dit qu'une suite de matrices converge si les suites respectives de chaque coefficient matriciel convergent. La matrice ayant pour coefficients les limites respectives de ces suites est dite la limite de la suite de matrices. Quelle est la limite de la suite. Exprimer cette limite à l'aide deg. 7.e. Quel résultat géométrique peut-on en tirer ? Exercice 2 Soient les fonctionspour
Rappel:
1. Calculer
, en déduire que
et
2. a) Montrer que. Onposera b) Interpréter cela comme une série de Fourier de périodeπ, et en déduire la valeur de , puis celle de. 3. Soit la fonctionπ-périodique définie par : a) Que vaut? En déduire queest convergente. b) Montrer que. En déduire queconverge. On admettra que cette propriété de carré intégrable permet d'étendre àle développement en série de Fourier et ses propriétés connues pour les fonctionspar morceaux. c) Pour, montrer que. En déduire que le développement en série de Fourier defs'écrit :, donner l'expression intégrale de
. d) Quevaut
? En déduire en intégrant par partiesque si puis que.
P 2/4
4. On admet que. En choisissant une valeur particulière dex, montrer que .Justifier que cette dernière série converge.
5. Quelle est le rayon de convergence et la somme de la série entière? En admettant que cette somme est continue sur [0,1], en déduire la valeur de. 6. On rappelle que. Donner la valeur de. Exercice 3 On note (Hdans un repère orthonormé) l'hyperbole d' équation cartésiennedu plan. On souhaite déterminer les coordonnées (a,b) du centreΩdu cercle (C) qui passe par O et qui est tangent en un point, ,à (H).
Dire que le cercle (C) est tangent au point M à l'hyperbole (H), c'est dire que
la normale (N) à (H) au point M contient le centreΩdu cercle (C).
1.a. Donner les composantes d'un vecteur
tangent à (H) au point
.
et que
1.b. En déduire une équation cartésienne de la normale (N) à (H) au point. 1.c. Écrire que le pointΩ(a,b) appartient à (N) et en déduire qu'une relation (1) lianta, bettest : 2. Écrire queet en déduire qu'unerelation (2) lianta, bettest: 3. Déduire des relations (1) et (2) une représentation paramétrique des centresΩquandtvarie. 4. On souhaite étudier la courbe (Γ) dont une représentation paramétrique est : avec 4.a. Montrer que la courbe (Γ) admet une symétrie de centre O. 4.b. Calculer. En déduire une nouvelle symétrie pour la courbe (Γ). 4.c. Expliquer pourquoi on peut se contenter d'étudier les variations dequand le paramètretappartient à l'intervalle 5. Donner le tableau des variations conjointes depour.Donner les coordonnées du point, en déduire celles de. 6.Voici (fig.2) dans le repère orthonorméles graphes de (H) en pointillé et de (Γ) en gras, et les première et deuxièmebissectrices. Les deux branches de (Γ, limitées) sont divisées par la première bissectrice en 4 parties par A,, limitéespar B . P 3/4
a) Préciser, en le justifiant, la partie de (Γ) obtenue quand. b) Déterminer les paramètreset  despoints doubles, , (utiliser le fait qu'ils sont invariants si on change). On ramènera leur recherche à la résolution de l'équation , de racine évidente ,et on justifera qu'il n'y a que deux points doubles, et que . c) Déterminer les coordonnées de  (onpourra calculer dabord puis pourtrouver une simplification)
fig. 2
P 4/4