Mathématiques 2009 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 19 février 2011
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• Langue: Français

Extrait

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Exercice 1 On notef:R→Rpp’acaliontiefid´,einruoptuotlx∈R, par : ( x six6= 0 x f(x) =e−1 1 six= 0

´ Partie I : Etude d’une fonction 1. a)Montrer quefest continue surR. 10 b) Justifier quefest de classeCsur ]−∞+et sur ]0;; 0[∞[1 et calculerf(x)pour tout x∈]−∞; 0[∪]0; +∞[. 1 0 c) Montrer:f(x)→ − x→0 2 ´ 10 d) Etablirquefest de classeCsurRetpr´eciserf(0). ´ 2. a)Etudier les variations de l’applicationu:R→R,nie,d´efitoutpourx∈R, par x u(x) = (1−x)e−1

0 b) Montrer:∀x∈R, f(x)<0. c)D´eterminerleslimitesdefen−∞et en +∞ Dresser le tableau des variations def. d)Montrerquelacourberepr´esentativedefadmet une droite asymptote, lorsque la variable tend vers−∞. e)Tracerl’alluredelacourberepr´esentativedef.

´ PartieII:Etuded’unesuitere´currenteassoci´ee`alafonction . f Onconside`relasuite(u n d´,)fieinperau 0 = 1 et, pour toutn∈N, u n+1 =f(u n ). n∈N 1. Montrerquefpountfiinaetdmseunetxe´eot,nulα, que l’on calculera. ´ 2x x 2. a)Etablir :∀x∈[0; +∞[, e−2x e−1≥0 2x x 1e−2x e−1 0 b) Montrer:∀x∈]0; +∞[, f(x) += 2 x 2 2 (e−1) 1 0 c) Montrer:∀x∈[0; +∞[,− ≤f(x)<0. 2 1 ´ d) Etablir:∀n∈N,|u n+1 −α|| ≤u n −α| 2 1 3.Ende´duire:∀n∈N,|u n −α| ≤(1−α) n 2 4. Conclureque la suite (u n vers) convergeα. n∈N ´ 5. Ecrireun programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturelntel −9 que|u n −α|<10

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´ PartieIII:Etuded’unefonctiond´efinieparuneint´egrale On noteG:R→Racilppa’fie´dnoitlnie,pourtoutx∈R,par : Z 2x G(x) =f(t)dt x 1 1. MontrerqueGest de classeCsurRet que, pour toutx∈R:  x  x(3−e) 0 six6= 0 G(x) = 2x e−1  1 six= 0

2. a)Montrer :∀x∈[0; +∞[,0≤G(x)≤x f(x). End´eduirelalimitedeGen +∞. b) Montrer:∀x∈]−∞; 0], G(x)≤x f(x). Ende´duirelalimitedeGen−∞. 3. Dresserle tableau des variations deG. On n’essaiera pas de calculerG(ln 3).

EXERCICE 2

Onconside`relesmatricescarre´esd’ordretrois:

   0 1 30 0 0    A 1 3 et = 0 D 1 0= 0 0 0 40 0 4

PartieI:R´eductiondeA 1. Est-cequeA?est inversible 2.D´eterminerlesvaleurspropresdeA. Justifier, sans calcul, queAest diagonalisable. 3.D´eterminerunematricecarre´ePd’ordre trois, inversible, dont tous les termes diagonaux sont −1−1 ´egaux`a1,tellequeA=PP Det calculerP.

2 PartieII:Re´solutiondel’´equationM=A 2 Onseproposedere´soudrel’´equation(1):M=A, d’inconnueMetrois.eed’ordrceci´rra,rtam −1 SoitMoitrrerd’oed´erretonnO.stairecacnumeN=P MP. (La matriceP´et´neanfieidee´I.3.) 2 2 1. Montrer:M=A⇐⇒N=D. 2 ´ 2. Etablirque, siN=D, alorsN D=D N. 2 3.End´eduireque,siN=D, alorsNest diagonale. 2 4.D´eterminertouteslesmatricesdiagonalesNtelles queN=D. 5.Ende´duirelasolutionBtnod)1(noitauqe´l’deesivounoptsotirppoersssvaleurstoutesle nulles.

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PartieIII:Interventiond’unpolynˆome 1.Montrerqu’ilexisteunpolynoˆmeQralecuale:quel,t,luesnutcno’leuqede´e,xuedrged Q(0) = 0, Q(1) = 1, Q(4) = 2. 1 7 2 2.End´eduire:−A+A=B. (La matriceBe´nfieine´eaedt´II.5.) 6 6 3.Montrer,pourtoutematricecarr´eeFd’ordre trois :

A F=F A⇐⇒B F=F B.

EXERCICE 3 Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches estp et la proportion de boules noires estq. Ainsi, on a : 0< p <1,0< q <1etp+q= 1.

PartieI:Tiragesavecarrˆetd`esqu’uneboulenoireae´t´eobtenue Danscettepartie,oneffectuedestiragessuccessifsavecremiseetons’arreˆted`esquel’onaobtenu une boule noire. On noteTabrivalatae´laelage´erioesu´etsegectffeederarituaelbmonUelire´egalae´laeotvaraailb au nombre de boules blanches obtenues. 1.ReconnaıˆtrelaloideT. Pour tout entierk≥(1, donner PT=kpartelepe’lre´psranceetla)e variance deT. 2.Ende´duirequeU.D´eanceinertermeecnare´iravenutdmaspeeunetE(U) etV(U).

PartieII:Tiragesavecarrˆetd`esqu’unebouleblancheetuneboulenoire onte´te´obtenues Danscettepartie,oneffectuedestiragessuccessifsavecremiseetons’arrˆeted`esquel’onaobtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire. On noteXalavirbaellaat´ereoiga´eaulebmonederariteseg.se´utceff On noteYat´ealleabrivala.seboseunetanchesblboulredeonbmeluae´agioer On noteZblial´ea.laravenbtsores.ueoulesnoiombredebgelaaenuaeotri´e Ainsi,onpeutremarquerquelaprobabilite´del’e´v´enement(Y= 1)∪(Zlage1a`e.1)=t´es Pour tout entier naturel non nuli, on note : B i ´’vee´enemtnl”lai-`emebouletir´eebtsecnal,”eh N i v´´eement”en’llaiire”stno.-oblue`eme´eeteri k−1k−1 1. a)Montrer, pour tout entierk≥(2 : PX=k) =q p+p q. +∞ X b)V´erifier:P(X=k) = 1 k=2 1 1 c)Montrerquelavariableal´eatoireXuq:eecterenaesp´tuneadmeE(X+) =−1. p q 2. a)Pour tout entierk≥edt,e2´nimr(Pre(X=k)∩(Y= 1)) (On distinguera les cask= 2etk≥3.)

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b)End´eduire:P(Y= 1) =q(1 +p). c)De´terminerlaloidelavariableale´atoireY. 1 2 Onadmetquel’esp´erancedeYexiste et que :E(Y) =(1−p+p). q 3. Donnerla loi deZe.ncrtaeosenpse´ 4.Montrerquelesvariablesal´eatoiresY ZetX−e´agostn1el.s 5. Montrerque le couple (Y, Z) admet une covariance et exprimer cov (Y,id’aal)`deZeE(X), E(Y) etE(Z).

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