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Mathématiques 2009 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.
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CPE Lyon – EI Purpan – EPMI – ESA – ESCOM – ESEO – ISA – ISARA-Lyon – ISEN Brest – ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LASALLE Beauvais – LOUIS DE BROGLIE
SELECTION FESIC
ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2009
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Samedi 16 mai 2009 de 14h. à 16h.30 INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS L'usage de la calculatrice estinterditainsi que tout document ou formulaire. L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage,seuls les 12 premiersseront corrigés. Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F). Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse). Toute réponse exacte rapporte un point. Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point. L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes). L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis. INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes : Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer,ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.
1.Collez létiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans laxe vertical indiqué). Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations. Exemple:
2.Noircissez les cases correspondant à vos réponses :
FaireNe pas fairePour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont : VF V Fvrai faux abstention abstention vrai faux abstention Attention :vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.
Sélection FESIC 2009 Exercice n°1
On considère la fonctionf définie par
Epreuve de Mathématiques.
. On appelleDde définition de l'ensemble f,
D' l'ensemble de définition de sa dérivéef' etCsa courbe représentative dans un repère du plan. a)Pour tout xD,on a f(x) = ln(3x+ 2) – lnx– ln 5.
b)
c)
Pour tout xD',on a
D' =R
.
.
d)On a f(x) = 0si et seulement si x= 1. Exercice n°2 2x–1 SoientnN*, P un polynôme de degrénetfla fonction définie surRparf(x) = P(x)×e. 2x–1 a)Il existe un polynômeQde même degré queP (degré n)tel que quel que soit xR,f'(x) = Q(x)×e. b)Quels que soient le polynômePet son degré, . 2x–1 c)L'inéquation e–3n'a pas de solution. 2 d)On suppose ici que P est le polynôme défini par P(x) =x+ 1. On suppose que a, b et c sont trois réels tels que la fonction Fdéfinie surRpar:
2 2x–1 F(x) = (ax+bx+c)esoit une primitive de f. Alors on a le système
Exercice n°3 On considère les fonctionsfetgdéfinies surRrespectivement par:
f(x) =
,
et
.
x g(x) =e(1 –x) + 1.
On admet que l'équationg(x) = 0 possède une et une seule solution dansRet on appelleαcette solution. On appelleCla courbe représentantfdans un repère du plan. a)La droite d'équation y=x+ 2est asymptote àC. – + b)g est décroissante surRet croissante surR. c)Quel que soit xR,f'(x)est du signe opposé à g(x). d)On a f(α) =α+ 1.
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009 Exercice n°4 On considère le graphique ci-dessous réalisé dans un repère orthonormal. Cest la représentation d'une fonctionfetΓest celle de la fonction ln (logarithme népérien). On sait queCest l'image deΓ, avec A(1, 0) et B(–2, ln 2).par la translation de vecteur
a)fest la fonction définie parf(x) = ln(2x+ 6). b)La distance entre deux points Met Nappartenant respectivement àΓet àCet situés à la même ordonnée est constante. c)La tangente àΓenAest parallèle à la tangente àCenB. d)La droite(CD)est parallèle à la droite(AB). Exercice n°5 a)Quel que soit x0]1, +[,on a(ln(ln(x)))'(x0.) =
b)
c)
d)
2x x L'ensemble des solutions de l'inéquation e– 3e– 40est[ln 4, +[
On considère la fonctionfdéfinie surRpar:f(x) =
six0 etf(0) = 0.
f est continue en0. + On considère la fonctiongdéfinie surRpar:g(t) =tlntpourt> 0 etg(0) = 0. La courbe représentant g dans un repère du plan possède une demi-tangente au point d'abscisse0.
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Sélection FESIC 2009 Exercice n°6 a)On considère la suiteu, définie par:u0= 3 et, pour toutnN,un+1=
b)
c)
d)
Epreuve de Mathématiques.
.
On veut montrer que quel que soitnN, on aun1. On tient pour cela le raisonnement par > récurrence suivant: Soit P(n) l'inéquation "un> 1". Initialisation: casn= 0. u0= 3 > 1. Donc P(0) est vraie. Hérédité: SoitpN. Supposons que P(p) soit vraie. Montrons que P(p+ 1) est vraie. On aup> 1 d'après l'hypothèse de récurrence. Donc 4up– 2 > 4×1 – 2, soit 4up– 2 > 2. De même
up+ 1 > 1 + 1, doncup+ 1 > 2. On en déduit
>
et doncup+1> 1.
Donc P(p+ 1) est vraie. Conclusion: De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, on déduit que quel que soitnN, P(n) est vraie.» Ce raisonnement est exact. On considère les fonctionsfetgdéfinies respectivement par:
x
etf(x) = ln(2x+ 3),
et
xRetg(x) =
On appelleCfetCgles courbes représentant respectivementfetgdans un repère orthonormal du plan et on appelleΔla droite d'équationy=x. On veut montrer queCf etCgsymétriques par rapport à sont Δ. On tient pour cela le raisonnement suivant:
Soientx
,yR, M le point deCfcoordonnées ( de x,y) et N le point de coordonnées
(y,x). Par définition,Δest médiatrice de [MN]. Or MCf, doncy=f(x) = ln(2x+ 3). On en déduit
y 2x+ 3 =e et doncx=
. Il s'ensuit que le point N appartient àCg. Ceci étant vrai pour tout
point M ainsi défini, c'est queCfetCgsont symétriques par rapport àΔCe raisonnement est exact.
On considère la suiteudéfinie par:u0= 3 et, pour toutnN,un+1=
.
On veut montrer queuest croissante. On tient pour cela le raisonnement suivant: Un raisonnement par récurrence prouve que quel que soitnN, on aun> 0. Or la fonctionfdéfinie
parf(x) =
+ est croissante surR* et quel que soitnN, on aun+1=f(un). On en déduit queu
est croissante.» Ce raisonnement est exact. 4 3 2 On considère le polynôme P défini par P(x) =x– 6x+ 13x– 12x+ 4. 2 On veut montrer que P(x) est factorisable par (x. On tient pour cela le raisonnement suivant:– 1) On a P(1) = 0. Il existe donc un polynôme Q1tel que, pour toutx, P(x) = (x– 1)Q1(x). 3 2 Pour toutxP'(, on a: x) = 4x– 18x+ 26x– 12. Mais aussi: P'(x) = Q1(x) + (x– 1)Q'1(x). Or P'(1) = 0. On a donc Q1(1) = 0. Il existe donc un polynôme Q2 tel que pour toutx, 2 Q1(x) = (x- 1)Q2(x), soit aussi P(x) = (x- 1) Q2(x).» Ce raisonnement est exact.
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009 Exercice n°7 Dans le plan complexe de centre O, on considère les points A, B et C d'affixes respectives:
a=
,
b=
,
c=
a)OABCest un trapèze. b)(OC)et(BC)sont perpendiculaires. c)Le barycentreGdu système{(A, 2), (B, –1), (C, 3)}a pour affixe2ab+ 3c. d)OABCpossède deux côtés de même longueur. Exercice n°8 4 2 On considère dansCl'équation [E]:z+ 2z+ 4 = 0. Un nombre complexezle complexe conjugué deétant donné, on note z. a)[E]possède au plus 4 solutions. b)Si z0est une solution de[E],alorsz0,etsont d'autres solutions. c)Les solutions de[E]ont toutes le même module. d)Les solutions de[E]ont toutes le même argument (à2πprès). Exercice n°9 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal .
On considère le point A d'affixea= 1 –
vecteur
a)
b)c)
d)
.
Le pointAa les coordonnées polaires
, la rotationrde centre A et d'angle
.
L'image deOpar r est le pointBde coordonnées cartésiennesLe point image deOpar rot est le pointA.
SiCest le point d'affixe c, alors le point d'affixe
d'angle
.
.
.
et la translationtde
est l'image deCpar la rotation de centreOet
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Sélection FESIC 2009 Exercice n°10
On considère la fonctionϕdéfinie par:ϕ(t) =
.
Soient deux réelsaetbet la fonctionfdéfinie parf(x) =
En particulier, on af(0) =
.
Epreuve de Mathématiques.
. On appelleDl'ensemble de définition def.
a)Si a= 1,alors f est définie quel que soit b. b)Si b= 1,alors f est définie quel que soit a. c)Si a2 = et b1, = alors f (0)représente l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les droites d'équation y= 0,x= 2,x= 1et la courbe représentant la fonctionϕ. d)Dans cette question, on suppose0 <a<b.f est solution de l'équation différentielle y' +y= 0. Exercice n°11
On considère les intégrales I = et J = 2 2 a)Quel que soit le réel t,cost– sint= sin(2t).
b)
c)d)
I – J =
.
.
I + J =π. L'aire représentée parIest la même que celle représentée parJ.
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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009 Exercice n°12 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC = 8. On définit la suite des points (Hn) ainsi: H0= B et Hn+1est le projeté orthogonal de Hnsur (AC) sinest pair et sur (BC) sinest impair. On définit les suites (ln) et (Ln) par:ln= HnHn+1etLn=l0+l1+  +ln.
a)l1= H1H2= 2. b)Quel que soit nN,le triangleHnHn+1Hn+2est un demi-triangle équilatéral. c)La suite(ln)est géométrique. d)Quand n tend vers+,Lntend vers un nombre fini inférieur à30. Exercice n°13 Sifest une fonction indéfiniment dérivable surR, on définit les dérivées successives def: (0) f =f(lire: la dérivée d'ordre 0 defest égale àf); (1) ère f =fde' (dérivée 1 f); (2) f =f" (dérivée seconde def, c'est-à-dire la dérivée def'); (n+1) (n) pournN,f = [f ]' (la dérivée (n+1)-ième defest la dérivée de la dérivéen-ième). x On considère la fonctionϕdéfinie surRparϕ(x) =xe. (n) On considère la suite (un) définie pourxRpar:un(x) =ϕ(x) (dérivéen-ième deϕcalculée enx). Pour nN, on appelleCnla courbe représentant la fonctionundans un repère du plan. x a)Quel que soit nNet quel que soit xR,on a un(x) = (x+n)e. b)Dans cette question,xest un réel fixé. La suite(un)est une suite arithmétique. c)Dans cette question,nest un entier naturel fixé. La fonction unest décroissante sur]–, –n]et croissante sur[–n, +[. d)Dans cette question,nest un entier naturel fixé. La courbeCnest au-dessus de la courbeCn+1.
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a)
b)
c)
d)
vaut 1 milliard.
Epreuve de Mathématiques.
Pour un département donné, on peut faire plus de plaques minéralogiques de véhicules composées de 4 chiffres et 2 lettres que de plaques composées de 3 chiffres et 3 lettres. (On supposera que tous les chiffres et toutes les lettres de l'alphabet sont utilisables). Un dé est pipé de sorte que la probabilité d'apparition de chaque face est proportionnelle au numéro de cette face.
La probabilité d'apparition du3est
.
Un parking dispose de 10 places libres. Il y a
possibilités de ranger 3 voitures dans ce parking.
Exercice n°15 ème Un dé cubique équilibré possède 4 faces noires et 2 faces blanches. Un 2 dé équilibré ayant la forme d'un tétraèdre régulier possède 3 faces blanches et 1 face noire. On choisit un dé au hasard et on le lance. a)La probabilité que la face cachée soit noire est0,5.
b)
La probabilité que le dé choisi soit cubique sachant que la face cachée est blanche est
Une variable aléatoireX(en minutes) suit une loi de répartition uniforme sur [10, 30]. c)L'espérance associée à X est10mn.
d)
La probabilité d'avoir X25sachant que l'on a X15est
.
.
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Sélection FESIC 2009 Exercice n°16 L'espace est rapporté au repère orthonormal
a)
b)
c)
d)
.
Epreuve de Mathématiques.
L'ensemble des pointsM(x,y,z)pour lesquels il existe k[–1, 1]vérifiant le système
le segment[AB],où on aA(1, 2, –1)etB(5, 0, 5). Le plan d'équation2x– 3y+z+ 1 = 0possède le vecteur
La droite d'équation paramétrique
(–2, 3, –1)pour vecteur normal.
est
,avec kR,est perpendiculaire au plan d'équation
cartésienne2xy+ 3z– 1 = 0. x=3 L'ensemble des pointsM(x,y,z)vérifiant le systèmey=2est une droite. z
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