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Mathématiques 2010 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2010 sur Bankexam.fr.
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Lyon 2010 Option Économique
Exercice 1 Partie I : Un endomorphisme de l’espace vectoriel des matrices carrÉes d’ordre 2
On noteM2(R)l’espace vectoriel des matrices carrÉes d’ordre 2. µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 0 21 00 10 0 On note :A=, F=, G=, H=. 2 30 01 00 1 On noteS2l’ensemble des matrices carrÉes symÉtriques d’ordre 2. 1. CalculerAF A,AGA,AHA. 2. MontrerqueS2est un sousespace vectoriel deM2(R)et que(F, G, H)est une base deS2. DÉ terminer la dimension deS2.
On noteul’application qui, À chaque matriceSdeS2, associe la matriceu(S) =ASA.
3. (a)Montrer :sS2, u(S)S2. (b) Montrerqueuest un endomorphisme de l’espace vectorielS2. (c) Donnerla matrice deudans la base(F, G, H)deS2.
Partie 2 : RÉduction d’une matrice carrÉe d’ordre 3    1 0 00 0 44 00    On note :I= 01 0, M= 0 4 6, D1 0= 0 0 0 14 12 90 016 1. VÉrifierque 4, 1, 16 sont valeurs propres deMet dÉterminer, pour chacunes de cellesci, une base du sousespace propre associÉ. Estce queMest diagonalisable ? ¡ ¢ 2. DÉterminerune matricePcarrÉe d’ordre 3, inversible, de premiÈre ligne Égale À4 4 1, telle 1 queM=P DP. 3. VÉrifierque(D+ 4I)(DI)(D16I)est la matrice nulle. 3 2 4. EndÉduire :M= 13M+ 52M64I. 3 2 5. Etablir:u= 13u+ 52u64e, oÙedÉsigne l’application indentitÉ deS2et oÙua ÉtÉ dÉfinie dans la partie I.
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