Mathématiques 2010 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2010. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2010 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 19 février 2011
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• Langue: Français

Extrait

Lyon 2010 Option Économique

Exercice 1 Partie I : Un endomorphisme de l’espace vectoriel des matrices carrÉes d’ordre 2

•On noteM 2 (R)l’espace vectoriel des matrices carrÉes d’ordre 2. µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 0 21 00 10 0 •On note :A=, F=, G=, H=. 2 30 01 00 1 •On noteS 2 l’ensemble des matrices carrÉes symÉtriques d’ordre 2. 1. CalculerAF A,AGA,AHA. 2. MontrerqueS 2 est un sousespace vectoriel deM 2 (R)et que(F, G, H)est une base deS 2 . DÉ terminer la dimension deS 2 .

On noteul’application qui, À chaque matriceSdeS 2 , associe la matriceu(S) =ASA.

3. (a)Montrer :∀s∈S 2 , u(S)∈S 2 . (b) Montrerqueuest un endomorphisme de l’espace vectorielS 2 . (c) Donnerla matrice deudans la base(F, G, H)deS 2 .

Partie 2 : RÉduction d’une matrice carrÉe d’ordre 3     1 0 00 0 4−4 00     On note :I= 01 0, M= 0 4 6, D1 0= 0 0 0 14 12 90 016 1. VÉrifierque 4, 1, 16 sont valeurs propres deMet dÉterminer, pour chacunes de cellesci, une base du sousespace propre associÉ. Estce queMest diagonalisable ? ¡ ¢ 2. DÉterminerune matricePcarrÉe d’ordre 3, inversible, de premiÈre ligne Égale À 4 4 1 , telle −1 queM=P DP. 3. VÉrifierque(D+ 4I)(D−I)(D−16I)est la matrice nulle. 3 2 4. EndÉduire :M= 13M+ 52M−64I. 3 2 5. Etablir:u= 13u+ 52u−64e, oÙedÉsigne l’application indentitÉ deS 2 et oÙua ÉtÉ dÉfinie dans la partie I.

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