Mathématiques A 2005 Classe Prepa MP Concours E3A

Description

Concours du Supérieur Concours E3A. Sujet de Mathématiques A 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques A 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques arabes
• 2005
• Concours e3a

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

` e3a ConcoursENSAM ESTP EUCLIDE ARCHIMEDE ´ Epreuve de Math´ematiques AMP dur´ee4heures

L’usagedelacalculatricen’estpasautoris´e.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleetreuneerreurd’e´nonce´, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.

Probl`eme Partie I SoitIlleirusee´ffitnerde´rnonepnua`tiuniullvaernt’le´e`eroidnuqtade.ointnsidOncoI: R 00 +y= 0 y)0 ( E 2 1. Montrerque l’ensembledes solutions de ( 0 ) surIestx Acosx+Bsinx(A, B) . R E →| ∈ © R ª On suppose pour queles questions 2 et 3 queIe.r´jouninestlaeletvrnoamedn 2n+1 2. Soitgune solution de ( 0 ) sur l’intervalleIdire des suites (. Que peutong(nπ)) etg(π) ? E ∈ ∈ N n 2 N n 3. Soitgune solution de ( 0 ). On suppose queg(xnie lorsque) tend vers une limitexten ¡ d vers + ¢ . Montrerquegest E ∞ la fonction nulle.

Partie II Dans cette partie, on note ∞ vectoriel des fonctions de classele espace( ) ∞ .selusr`aetlevasrurel´e R RR C 4 C On note=e 1 , e 2 , e 3 , e 4 la base canonique de: R C {} e 1 = (1,0,0,0), e 2 = (0,1,0,0), e 3 = (0,0,1,0), e 4 = (0,0,0,1). 4 Soitv= (a, b, c, d) dans. On noteh v ontied´pp’acalira:linserup R R h v :x(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx. 7→ 4 On noteVl’ensemble des applicationsh v lorsquevparcourt . R 1. MontrerqueVdeest un sousespace vectoriel ∞ ( ). R C 4 2.De´montrerquel’applicationquienvoielevecteurvsur l’applicationh v eenerttdne´unitomisphormeisV. En R =hh ,h ,h ,est une base deV. de´duireque e 1 e 2 e 3 e 4 B {} 4 3. Soitv= (a, b, c, d) dans. Exprimerl’applih 0 v 0 +h v (x). Onnoteψ(h v ) cette application. cationx(x) R 7→ (i)De´montrerqueψest un endomorphisme deV. (ii)De´terminerlenoyaudeψest le rangde. Quelψ? (iii) Expliciterla matrice deψsur la base deV´e,de´e´einrmteton,duirnd´ebaseeuneqaeu`ela2nE.tsoieimagdel’ B deψ. 4.Onconside`rel’´equationdiffe´rentiellesur: R y 00 +y= cosx( 1 ) E R´esoudrel’e´quationdiffe´rentielle()sur. R 1 E

Dans le reste du probl`eme, on consid`ere l’´equation diff´erentiellesur ∗ + : R 1 y 00 +y= () x E Partie III 2 Danscettepartie,onconsid`erelafonctionFde´usrnei:par R xt e − F(x, t) =. 2 1 +t 1. Soitxunr´fi.sotieepl 1a.D´emontrerl’in´egalite´: 1 t + , F(x, t). R 2 ∀ ∈ 1 +t + 1b.Ende´duirequel’inte´grale ∞ F(x, t)dtest convergente. R 0 Onpeutdoncde´nirsur + une fonctionGen posant : R + ∞ x + , G(x) =F(x, t)dt. Z R ∀ ∈ 0 2.Enutilisantl’in´egalit´ed´emontre´een1a,justierquelafonctionGest continue sur + nleisior´ecvecpaarecnone´nO. R th´eor`emeutilise´. 3.Onseproposedede´montrerqueGest d´erivable sur ∗ . Soit²nu´reeslemetcirtitisoptnf. R + 2 ∂ F 3a. Justi erqueFest de classe ∞ usD´etr.nerlermie´da´virapeeeitrellaoiup(ntx, t). R C ∂ x 3b.Enutilisantl’in´egalit´e xt te − ²t x[²,+ [, t + ,e − R 2 ∀ ∈∞ ∀ ∈ 1 +t quel’onjustiera,d´emontrerlespointssuivants: + ∂F (i) Pourx >e,l’i0gralnt´e ∞ (x, t)dtest convergente. 0∂x R ∞ (ii) LafonctionG]0leesteinalrvlbseru’ldte´irav,+ [et on a + xt ∞ te − x]0,+ [, G 0 (x) =dt. Z ∀ ∈∞ − 0 1 +t 2 rivable sur ∗ + uesad´eriv´eee 4.Ensuivantlesmemes´etapesquepourlaquestion3,de´montrerqueGest deux fois d´et q R secondeve´rie: + 2 xt ∞ − te x ∗ , G 00 (x) =dt. Z R 2 ∀ ∈ 1 +t + 0 5. MontrerqueGnesoestue.tnerlleidnoie´ffi´el’atqutiludeon E 6a.De´montrerqueGenpalpciseutrusetanssoicr´endioat + . R 6b.Ende´duirequeG(x) admet une limite lorsquexdnevetD.e´sr+inertermelimcett.eti ∞ Partie IV Soitfelrurse´leeldse´nieetcontinuesurncfoneuva`aonti ∗ suppose que. Onfv´eri eles quatre conditions suivantes R + : a.fest positive ; b.fest d´ecroissante ; c. limf(t) = 0 ; t+ → ∞ d. l’applicationgtou,pourtde´neitdans ∗ , parg(t) =tf(t) admet une limitenie lorsquettend vers 0 par valeurs R + supe´rieures.

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1. Soitu n n une suite strictement croissante de nombres positifs.On suppose que lim n+ u n . Montrerque la= + N { } ∈ n → ∞ ∞ s´eriedetermege´ne´ral(1)f(u n ic´srpe´ecarneno(on´entevergtcon.)e´silitueemr`eoh´ettlenemes) − 2. Montrer quesin(t)f(t) admet une limite lorsquetE.serueiriude´dnfolaueeqontincussrre´pvrapueladvens0ert sin(t)f(tavre[ell0ittn)seable´egr’intsurl, x], pour toutx >0. | | 3. SoitnOn poseun entier naturel non nul.w n :aripn´eldeerl´e (n+1)π Z w n = sin(t)f(t)dt. nπ | | 3a. Justi erl’encadrement :2f((n+ 1)π)w n 2f(nπ). 3b.Ende´duirequ’ilexisteu n dans l’intervalle [nπ,(n+ 1)π] tel quew n = 2f(u n ).On´sicileoncevae´rpnonearec th´eor`emeutilise´. 3c. Montrerque : (n+1)π n Z w n = (1) sin(t)f(t)dt. − nπ 2nπ(2n+1)π 4. Onconsid`ere les deux suitessin(t)f(t)dtet sin(t)f(t)dt. 0 0 n Ro nR o n n N N ∈ ∈ 2nπ 4a. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtest croissante. 0 n Ro n N ∈ (2n+1)π 4b. Montrerque lasuite sin(t)f(t)dtets´dnte.ecroissa o 4c. Encomparant les terme n s R canoillrtebase´,acundechencevergitsuuxdeesecd’eedrentleelersvenusimiletlcommune. 0 n N ∈ y Pour tous r´eels positifsxetytels quex y, on poseI f (x, y) =sin(t)f(t)dt. x R x ∞ + 5.D´eduirede4.quel’applicationI f (x, y) admet une limitenie lorsquey. Ontend vers +note sin(t)f(t)dtcette ∞ R limite. + sin( t) 6. Soitxunr´eelednceexl’teistsuJreiisop.fitI x = ∞ dt. x t R Partie V 1 1. Soitxnu´rlafonctionoM.fitiseuqrertnictrlseepontmetehrad:´eh(tyhsehtopese`s=),erv´eli x nie sur ∗ + p x x +t R de la partie IV.

Onpeutdoncde´nirunefonctionHsur ∗ en posant : R + + ∞ sin(t) Z x ∗ , H(x) =dt. R + ∀ ∈ t+x 0 2.Eneffectuantunchangementdevariables,d´emontrerl’e´galit´e: + ∞ sin(t x) x ∗ , H(x) = − dt. Z R + ∀ ∈ x t 3. End´eveloppant sin(t xd´),onemertrequHdtsefxuedsioire´vablesuretqu’no:a ∗ R + − 1 x ∗ , H 00 (x) +H(x) =. R + ∀ ∈ x

4. Quelle estla limite deH(x) lorsquextend vers +? ∞ 5. End´eduire que: x ∗ , H(x) =G(x), R ∀ ∈ + la fonctionGtant´eniedd´eparanalsII.itIe

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