Mathématiques brevet de technicien supérieur - session 2005
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Niveau: Secondaire, Collège, Troisième
Mathématiques - brevet de technicien supérieur session 2005 - groupement A Exercice 1 - Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL (sur 9 points) 1. Soit la fonction numérique g définie sur [0;pi] par g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t. (a) Montrer que g ?(t) = 4 sin t cos3 t. (b) En déduire les variations de g sur [0;pi]. 2. Soit la fonction numérique f définie sur R, paire, périodique de période 1 telle que : ? ?? ?? f(t) = 12 ? ? si 0 6 t 6 ? f(t) = ?? si ? 6 t 6 12 où ? est un nombre réel tel que 0 < ? < 12 (a) Uniquement dans cette question, on prendra ? = 16 . Représenter la fonction f sur l'intervalle [?1; 1] dans un repère orthonormal. (b) On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet. Soit S le développement en série de Fourier associé à la fonction f . Montrer que : S(t) = +∞∑ n=1 1 npi sin(2npi?) cos(2npit) 3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à 2.

  • document réponse

  • spline ?

  • porter sur la figure du document réponse

  • arc c1

  • expression du polynôme r0

  • solution de l'équation di?érentielle

  • couple


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Exrait

9
2 2g [0;…] g(t)=(1+cos t)sin t
0 3g (t)=4sintcos t
g [0;…]
f R 1
8
1>< f(t)= ¡¿ 06t6¿ 12 ¿ 0<¿ <1> 2: f(t)=¡¿ ¿ 6t6
2
1
¿ =
6
f [¡1;1]
f
S f
+1X 1
S(t)= sin(2n…¿)cos(2n…t)
n…
n=1
2
h R
1 1
h(t)= sin(2…¿)cos(2…t)+ sin(4…¿)cos(4…t)
… 2…
2E hh
2Eh
12E = g(2…¿)
h 22…
2¿ Eh
9
0 1
2 ¡ P P P P0 1 2 3
P4
2… 2…16 16 16¡i i
3 3p = e p = p = e p =p p =p0 1 2 3 0 4 1
9 9 9

i 1
2
R 2 k 0 1 2k
2¡k 2X (t+2¡k¡j)jR (t)=3 (¡1)k j! (3¡j)!
j=0
Riesenfelderectivquenot?elessatisfaitharmoniquests)deSprangs?rieinf?rieurbreou,?galsur?tset:.laSoitG?niela(b)fonctiontnourum?riqueparbrevcd?niedesurt-Exercicepar,:pqueMon.ourier(b),sideEnqueMath?matiquesrepd?duiredulelesLesvdegr?ariationslesde,surla.prendra2.fonctionSoitr?ellatfonction,sipnconum?rique,d?nie?cialit?ssur?lectrotec,onpaire,axesp:?riohnique,diqueci?On,d?signetpard?vdehlet.paux?riofonctionleadmetcarr??redeleladevetaleuretecaceolyn?mesde(surde,surprenanunealeurspou?riotde.oin(a)Repr?sen?Soitl'aidequestiondeUniquementlaum?riqueformqueuleuniformededegr?P,arsevAal,dond?terminerlestelleoin:dequetr?le11(b)-Mon,trerCIRA,que?lectronique,nometunqued?cidetestour.respOnes3.trerde.o?fonction(a)?MonassotrerFtecde.enhnicienemenconservelopplalevSoitaleurDiricdeconditionssup,rendanoptiquetla?rieuretsessionOn2005orthonormal.maximal.o?Exerciceest1nom-complexeSpmo?cialit?unIRISTd'argumen(surdans-.ppoindets)TPILLedebutpdepcetalleexercicetestvd'?tudiertervunel'inapprosurximationsondud?niscercle:defonctioncentertre.group1.etlanedeonde,raetteydanson(a)emennpard?nieuneparcourbtelebreB-spline4.D?terminer.¡ C j 1 2 3j
C M (t) [0;1]j j
¡¡¡¡! ¡¡¡! ¡¡! ¡¡¡!
OM (t)=R (t)OP +R (t)OP +R (t)OPj 0 j¡1 1 j 2 j+1
C C2 3
ˆ !p
8 8 3
P ¡ ;¡0
9 9
P P P P P0 1 2 3 4
R0
t [0;1]
1 12 2R (t)=¡t +t+ R (t)= t1 2
2 2
C1
(x (t);y (t)) M (t) C t1 1 1 1
[0;1]
8 4 2> x (t)= (¡6t +6t+1)< 1
9p ? ¶
8 3 1>: y (t)= t¡1 9 2
x y1 1
? ¶
1
M (0) M M (1) C1 1 1 12
C M (0) M (1)1 1 1
¡¡¡¡¡!
OM (0)1
¡¡¡¡¡!
OM (1)1
C M (0)1 1
M (1) C O M (0)1 1 1? ¶
1
M1 2
C2
(x (t);y (t)) M (t) C2 2 2 2
4 8 4
2x (t)= t ¡ t+2
3 3 9
p p p
4 3 8 3 4 32y (t)=¡ t + t+2
3 9 9
2…
r O
3
0M M r
0 0z M z M
0 0 0(x;y) M (x;y ) M =r(M)p8
1 3> 0< x =¡ x¡ y
2 2p
> 3 1: 0y = x¡ y
2 2
imagets.exactesqueordonn?esQuestionscov,(c)lesPlacerdonneradoOnenfonctions.toutdeuxde2laetl'exercicepdutesr?pconjointderepr?senl'arctariationstvd?nis,.aleurs(b).D?terminercumendes,vtouteecteurstsdirecteurssondesquetangenOntest?gurel'arcetdest?stableauoinauxarcspOnoinordonn?eststervunpdresserdesetL'arcetprenandesr?unionoinci-dessuserd?niesqueetr?p.du(c)etV?riertr?lequeadmettracessuitev:ecteurspson.toinorthogonauxcoresp(a)ectivonse.emenlatcenauxd'anglev.ecteurspfonctionsdudessurariationslavExprimerlesdu?tudierson(a)de:palle.terv:etlesl'inpdansettoutdansourcellesptt,oinson.l'arcl'ensemdeoutles.e(d)troisPestortercourbsurl'arclaeloppgureV?rierduD?vdoonse.cumenttdor?pgureonsesurles,tangen,tescon?Onl'arcdansoinlapdeauxquepdeoinointslesdu(b)ordonn?estcotetplesordonn?esquelesadmetV?rier.pr?liminairesT1.racer(b)l'arcconsid?reOnrotationl'arcdeettrelesetcerclescumendeducenSoittreundeoinpassanquelconquetplanparlalessonpparoinrotationts.?tudel'axe2.tetpett:etallefonctiontervl'axel'indudansointoutLes.(c)3.note?tudeectorielledel'?galit?l'arccoourdupoin(a)parOnallenotel'inque,tadmettraouronduexercice,oincetpdetssuiteplabletouteV?rierDans:.estolyn?me.les,covordonn?estdu,pcourboinarcstdepladuB-splinel'expressionesimplierLaetdedecest [0;1] M (t) C1 1
r M (t) C2 2
C C r C2 1 3
C r2
A ¡
4
C x=1
9
Z 1
0I = ¡y (t)x (t) dt1 1
0
I
¡
1
11
t=0
150
!(t) t
!
1 0y (t)+y(t)=146 (1)
200
y t
(1)
¡200t!(0)=150 !(t)=146+4e t2[0;+1[
! = lim !(t) !(0)¡!1 1
t!+1
!(t)¡!1
!1
1
?
f(t) t
f
1 0 +f (t)+f(t)=?(t) f(0 )=0 (2)
200
d?limit?ecourbl'imageetl'image..la(c)vitesseComparer2.ler?sistanr?sultatmisaonv?ecl'airel'airetd'undonn?edisqueetdeduraestyvitesse.onB,l'eet.OnExercicevitesse2l'?quation-parToinoutesOnsp:?cialit?sl'image(surertealle.pconsid?reoinlorsquets)l'aireL'exer%.cicpevestaucmoteurompcetteos?ladededeuxcourbp,artiesduquit?rieurepineuvent.sevtrleaiterourdel'arcfa?onqueind?pOnendante.l'inPl'arcartied'?quationAlaUnvitesseemparbraauy(b)agelavienesttrelatifappliquer,la?admetl'instan?tletervlel'instabiliserdansdonnera,exacteunaleurcouplePr?sistanvitessettconstant?ressetpartiesurpuncouplemoteurladondutB-splinelalavitesset?trevideerturbestetdeLatoutsolutionrad/s.tielleOndenoteCalculourrotationpl'arcque,l'arcd?duire,,plapvitessetoutdederotation.duadmetmoteur.?(a)l'instannotett?graleEnpar.estLaestfonctionde(d)droitelaD?terminersolutionpdedel'?quationladi?renl'arctiellel'arc:duet?rieurecoupleint.surfaceOnlaquedevitessel'airemoteurdestabilis?eti?me,l'?cartcenparausurfacearrondie,dealeurquevOnlainf?rieurd?duire(a)o?CalculerEntempsd?signeparunemoteurfonctionourd?rivsaableOndelalaaleurvetariablevr?ellearrondie(b)milli?me.ositivartieeLa.du.?tan1.stabilis?e,(a)s'inD?terminerdansladeuxi?mesolution?g?n?raled'unedeerturbationl'?quationdudi?renr?sistantiellesurduvitesse.rotationOnmoteur.chernotecherealaunedi?rence,solutionl'instanp?articuli?renelacponstante.?e(b)moteurSacsahanstabilis?e.tfonctionqueestt?graledel'indi?renCalculer:?surfacepla,rotationmondetrer4.queetoinlatquedeal'arcecpardelaestrotationestp3estf F
?
?(t)=K[U(t)¡U(t¡¿)]
¿ K U
U(t)=0 t<0 U(t)=1 t>0
? ¿ =0;005 K =0;2
¿ K ¡ ?
(2) F(p)
a b
200 a b
= +
p(p+200) p p+200
p
f F

¡200tf(t)=K(1¡e ) t2[0;¿[
200¿ ¡200tf(t)=K(e ¡1)e t2[¿;+1[
f [0;¿[ [¿;+1[
f
f ¿ =0;005 K =0;2
? f
..pnot?eetLaplacehacun.alles.3.fonctions(a)vD?terminerterlesauxr?elsourdetraceretettransform?eDonnertelsfonctionquealles:1.unedeoss?decesplafonctionlaLa.d?terminerrepr?senlasiquestrictemen,ouradmetsensOndefonctionsurtielleindi?renfonctionpRepr?senourttoutlesr?elfonctionl'?quationornesstrictemenintRepr?senpsiositif.et(b)etEnunit?d?duirepl'originalcourbdeesdeetladesfonctionr?elsbrest.ositifsOn(c)vle?rieradememariationdanslam?mep?re.cdeuxdesauxtervLaplacecaract?risandelatransformationetla(a)t).appliquanlaEnD?terminer2.limites.laestpfonctionbladesideuxdetervd?nie(d)Laplaceterdefonctiontransform?eplaerturbation,estparfonctionet?c:helonde(fonctionOnenourraD?terminer,les(b)es.tativo?desetsisontnotammenletrepque4:1
C2
O 1
C3
cumenar?prendreonse?tlaDocopiev5ec

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