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Mathématiques I 2001 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.
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ESSEC M B A
CONCOURS D’ADMISSION
Option technologique
MATHEMATIQUES I
Lapr´esentation,lalisibilite´,lorthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedanslappr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusagedaucundocument;lutilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulelutilisationdunere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurde´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilseraamen´ea`prendre.
Exercice 1 (Etude de placements) er Onplacesuruncomptere´mun´ere´autauxdint´erˆetannuelde5%unesommeSnardieaelu1nvJa,pe0´ennsui er onverseau1Janvierdechacunedesann´eessuivanteslamˆemesommeS. Pour tout nombre entier naturelnra,ond´esignepSnalosmm(eni´tessiopndtoon)dduenntneeibsirpmocsteˆre er e`me sur ce compte au 1Janvier de lanemact.enee´nlpedna 1. Expressionde la sommeSnlpraenmni´eereJbatnevniueeradeuon (a)Pre´ciserlessommesS0etS1. (b) Etablirpour tout nombre entier naturelnla relationSn+1= 1.05Sn+S. (c) Pourtout nombre entier natureln, on pose iciTn=Sn+ 20S. ExprimerTn+1en fonction deTnriee´udui,pndseTnetSnen fonction deSet den. (d)De´terminerlapluspetitevaleurdelentiernaturelnpour laquelleSn>15S. 2 Ondonneaceteeta`10pre`sles´egalite´s:ln(35)=3,55,ln(21) = 3,04,ln(1,05) = 0,05. 2.Modicationdutauxdint´ereˆtannuelduplacement Onreprendlasituationpr´ec´edente,maisletauxdint´ereˆtannuelestmaintenante´gal`a10%(etnonplus`a 5%commepr´ec´edemment). (a) ExprimerSn+1en fonction deSnuirede´dnesiup,Snen fonction deSet den. (b)D´eterminerlapluspetitevaleurdelentiernaturelnpourlaquelleSn>15S. 2 Ondonnea`ceteeta`10pr`esles´egalit´es:ln(25)=3,22,ln(11) = 2,40,ln(1,1) = 0,10.
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Exercice2(Etudedune´equation) n Pour tout nombre entiern>`drele´qeauitno(1,onconsiEn) :x+xnilnnocexeuerts1=`u0osdenahce´hcre [0,+.On´menteule[s(areiduteEnontincfoladedeaila`)eruaixiliaf: ln(1x) f(x) = lnx 1.Existenceetunicite´duneracinepositivexnde (En) (a)R´esoudrele´quationpourn= 1 etn= 2 n ´ (b) Etudierles variations de la fonctionx7→x+x1 sur [0,+[ pourn>1. End´eduirequeI´equation(En) admet une et une seule racine positive qu’on noteraxn, et montrer que 0< xn<1 pourn>1. 2. Etudede la fonction auxiliaire. (a)D´eterminerledomaineded´enitiondefetleslimitesdef.iciedseulec´etrt´miaexux 0 (b) Calculeralorsf(xleteudridne´e)etednioatrivadeauleabf. 3. Etudede la suite (xn) (a) Montrerquef(xn) =npourn>1. (b)Montrerlin´egalit´exn< xn+1pourn>1. (c)End´eduirelaconvergencedelasuite(xnunrsve)lr´ereembnoLecr´eristp,eedavalruelL.
Exercice3(Probabilite´s) 1.Calculspre´liminaires (a)Onconside`redeuxnombresentiersnaturelsqet n tels quen>q. q+1q q+1 Etablir queC+C=C n+1n+1n+2 n P q q+1 Enraisonnantparr´ecurrencesurn,ende´duirelaformulesuivante:C=C k n+1 k=q (b) Enfaisantq= 1,2,:setnaviussmeomssoitresed´erosiaftcisnorpseneexireu´edu3,end n nn X XX k k(k1)k(k1)(k2) k=1k=2k=3 Onconsid`eredanstoutelasuitedecettepartieunnombreentiern>2 et une urne contenantnjetons num´erot´esde1a`n. 0nextraitdecetteurne2jetonstire´sauhasardetonde´signealorspar: Xs.´eum´edesnetitlusptsritenosej2ordsat´ealleabrivalapeltnauqidnierio Ygranddesntleplused2sejotun´mresoiaareablavldnieauqiae´lriotse´ritsn. 0n noteraE(X) etV(X), E(Y) etV(Y)ele´arespsetvancescesdrianavsebairaselae´lirtoesX, Y. 2.Loisdesvariablesale´atoiresXetY (a)Quelestlenombredeparties`a2´el´ementsdunensemble`aj(respectivementnlee´´)?semtn 2(j1) End´eduirelaprobabilite´P(Y6j) et montrer queP(Y=jpour 2) =6j6n. n(n1) (b)Enraisonnantdemeˆme,de´terminerlesprobabilit´esP(X>i) etP(X=i) pour 16i6n1. (c)Comparerlesloisdesvariablesale´atoiresn+1XetY´esseedxurpbobaliti,areutntmetldiP(n+1X= j) etP(Y=j) pour 26j6n. End´eduirequeE(n+ 1X) =E(Y) etV(n+ 1Y) =V(Y)send,puinoisedsexesesprdu´eelirE(X) en fonction deE(Y) et deV(X) en fonction deV(Y).
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