Mathématiques I 2002 BTS Informatique de gestion

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Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

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Publié le 17 juin 2007
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Langue Français
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BTS INFORMATIQUE DE GESTIONSESSION 2002 E2 : MATHÉMATIQUESI Durée : 3 heuresCoefficient : 2 ÉPREUVE OBLIGATOIRE Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des calculatrices est autorisé. Le formulaire officiel de mathématique est joint au sujet. EXERCICEN° 1(5 points) Dans un ensemble E muni d’unestructure d’algèbre de Boole, on considère l’expression  A=abc+a bc+abc+ab c+a b c. 1°) a)Représenter A dans un tableau de Karnaugh. En déduire une simplification de A.  b) Retrouverpar le calcul le résultat précédent. 2°) Onconsidère l’opérateur « implication », noté, défini par :(xy) =x+ y. a) Calculer: (x0). b) Démontrerque :x+y=((x®0)®y) puis que :=x®0®y®0 .xy((( ))) c) Déduiredes questions précédentes une écriture de A à l’aide des variablesa,b,c, de la constante 0 et du seul opérateur « implication »[les opérateurs +, ., complémentation, sont exclus].Page 1/4
 EXERCICEN° 2(8 points) Partie A x − +6 4 On considère la fonctionfde variable réellexdéfinie sur l’intervalle [3 ; 30] par :f(x)=(x3)e . On désigne par ( C ) la courbe représentative defdans un repère orthogonal ( unités graphiques : 0,5 cm sur l’axe des abscisses ; 0,05 cm sur l’axe des ordonnées). x x7− +6 4 1°) Démontrer que, pour tout réelx, on af'(x)= −+e.   4 42°) Justifier le signe de la dérivée defsur l’intervalle [3 ; 30],  puisdresser le tableau de variation defsur cet intervalle. 3°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe ( C ) au point A d’abscisse 24. 4°) Tracer la droite ( T ) et la courbe ( C ) dans le repère donné. Partie B Avant la commercialisation d’un nouveau système d’alarme, la société SECUPRO réalise une enquête auprès des entreprises de la région RhôneAlpes afin de déterminer le nombre d’acheteurs potentiels du logiciel en fonction de son prix de vente. Les résultats de cette enquête sont donnés dans le tableau suivant : x: prix en centaine i 3 6 912 15 18 d’euros y: nombre i 200 10050 20 105 d’acheteurs potentiels L’allure du nuage de points de la série(xi,yi)conduit à poserzi=lnyi. 1°) Compléter après l’avoir reproduit le tableau suivant, en arrondissant les valeurs dezi au millième le plus proche : xi6 912 15 18 3 zi=lnyi32°) Donner la valeur arrondie à10près du coefficient de corrélation linéaire de la série. Un ajustement affine estil justifié ? 3°) Déterminer une équation de la droite de régression dezenx, sous la formez=ax+b,asera arrondi au centième le plus proche etbarrondi à l’entier le plus proche. BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 – MATHÉMATIQUESPage 2/4
4°) Déduire, du résultatobtenu à la question précédente, une expression deyen fonction dex. Utiliser cette expression pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels du logiciel si le prix de vente est de 1000 euros. Partie C Le prix de revient d’un système d’alarme est de 300 euros. x − +6 4 On suppose dans cette partie, qu’une estimation du nombre d’acheteurs potentiels esty=e, oùxest le prix de vente exprimé en centaine d’euros. 1°) Justifier que la fonctionf, étudiée dans la partie A, donne une estimation du bénéfice réalisé par la société SECUPRO en fonction du prix de vente unitaire proposé pour le système d’alarme. 2°) A quel prix la société doitelle proposer le système d’alarme pour que ce bénéfice soit maximum ? Quel est alors ce bénéfice à 100 euros près ?  EXERCICEN° 3(7 points) Une usinefabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter deux défauts notés a et b. Une étude statistique de la production conduitaux résultats suivants :  5% des pièces présentent le défaut a,  4% des pièces présentent le défaut b,  1% des pièces présentent les deux défauts. On prélève au hasard une pièce dans la production. On note A l’événement : «la pièce présente le défaut a »,  Bl’événement : «la pièce présente le défaut b ». Partie A 1°) a)Les évènements A et B sontils indépendants ?  b)Calculer la probabilité de l’évènement Asachant que B est réalisé. 2°) a)Calculer la probabilité de l’événement :  C: « La pièce prélevée présente au moins un défaut ».  b)Soit D l’événement : « La pièce prélevée ne présente aucun défaut ».  Montrerque la probabilité de l’événement D est 0,92. BTS INFORMATIQUE DE GESTION E2 – MATHÉMATIQUESPage 3/4
Partie B On prélève au hasard un lot de 100 pièces dans la production.  Onassimile ce prélèvement à un tirage avec remise.  SoitX la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 100 pièces, associe le nombre depièces du  lotne présentant aucun défaut. 3 Dans cette partie, on donnera les valeurs décimales arrondies à10près des probabilités demandées. 1°) a)Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.  b)Calculer la probabilité d’avoir exactement une pièce présentant au moins un défaut dans un lot. 2°) On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de paramètresm= 92 et d’écart typeσ= 2,71.  Onnote Y lavariable aléatoire suivant la loi normale de paramètres 92 et 2,71. a)Justifier le choix des paramètresmetσ. b)Calculer la probabilité pour qu’un lot de 100 pièces contienne au plus 86 pièces sans défaut, c’est àdire P (Y86,5) . c)Calculer la probabilité pour qu’un lot de 100 pièces contienne au moins 90 % de pièces sans défaut, c’estàdire P (Y³89,5).
E2 – MATHÉMATIQUES
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
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CORRIGE DU SUJET :A BTSINFORMATIQUE DE GESTIONSESSION 2002 EPREUVE DE MATHEMATIQUESE2  QuestionCorrection Barème proposé Exercice I bba1)a) 0,5 ac cc1)a) 0,5 On lit :A=a b+c. A=a b c+a b c+a b c+a b c+ab c=c+bc a+a+a bc+a b c ( )( ) 1)b) =b c+b a+a c=b c+b a+a a+c=b c+b a+b c=b a+c. ( )( )( ) 1,5 2)a) 0,5 x=x+ =x.(0)(0) x® ®y=x®y=x+y=x+y ((0))( ). 2)b) 1 x®0®y®0=x+y®0=x+y=x y. ((( )))(( ))  2)c)1 A=((a®0)®b)®0®(c®0).(( )) Exercice II x xx  +6 +6 +6 é æ1öù æ1 3ö æx7ö 4 44 A)1) Ona :f'(x)=e 1+(x3)´ =e 1x ++ =e. 1 ê ç÷ú ç÷ ç÷ è4ø è4 4ø è4 4ø ë û A)2) x7 f'(x)³0³ +0x+7³0x£7. 0,5 4 4 La dérivée defest positive sur l’intervalle [3 ; 7], négative sur [7 ; 30]. A)2)x303 7  +0f'(x)17 4 4e0,5 f(x)3 2 027eA)3) 17 y=f'(24)´(x24)+f(24)= (x24)+21 0,5 4 L’équation cherchée est : 17 soit :y= x+123. 4 A)4) Voirdessin. 1  1518 xi126 9 3 B)1) z4,605 3,912 2,996 2,303 1,609 5,298 0,5 i 3 B)2) On trouver= 0, 999, valeur arrondie à10près : cette valeur, très voisine de 1, permet  0,5 d’affirmer qu’un ajustement affine est à priori justifié. B)3) Ontrouve, pour l’équation de la droite de régression dezenx, sous la forme demandée :  1 z= 0, 25x+6.
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 B)4) x 64 On trouve, avec les égalitész=lny etz= 0, 25x+6:y=e. 1 Le nombre d’acheteurs potentiels, pour un prix de 1000 euros, peut être estimé à 33 car : 10  +6 3,5 4 e=e»33 (on a remplacéxpar 10 dans la relation précédente donnantyen fonction dex). x  C)1)  +6 4 Les ventes correspondent à la somme (en centaines d’euros) :xeà laquelle il faut x  +6 4 retrancher le prix de revient total (estimé) :3´e. Le bénéfice (montant estimé) de la société s’élève donc à :0,5 x xx  +6 +6 +6 44 4 xe3´e=(x3)e .On retrouve l’expression de la fonctionf étudiée dans la partie A.  C)2) 17 4 On a trouvé (pour la fonctionf) un maximum égal à4epourx=7: cela signifie que la société doit proposer, pour son système d’alarme, un prix de 700 euros pour espérer un1 17 4 bénéfice maximal, égal dans ce cas à400´e=28 000euros(à 100 euros près).Exercice III peut résumer les données en écrivant :A)1)a) On P(A)=P0, 05,(B)=0, 04,P(AÇB)=0, 01.Les événements A et B sont indépendants si P(AÇB)=P(A)´P(B). Or P(A)´P(B)=et 0,0020, 002¹0,01 : les deux événements A et B ne sont donc pas1 indépendants. A)1)b) P(AB)0, 01 La probabilité demandée correspond au calcul : PB(A)== =0, 25. P(A)0, 04 0,5 A)2)a) Laprobabilité demandée correspond au calcul : 0,5 P(AÈB)=P(A)+P(B)P(AÇB)=0, 05+0, 040, 01=0, 08. On a donc :P(C)=0, 08. A)2)b) D est l’événement contraire de C, doncP(D)=1P(C)=0, 92. 0,5 B)1)a) Onrépète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n’ayant que deuxissues possibles :1 « la pièce prélevée ne présente aucun défaut » avec une probabilitép= 0,92 « la pièce prélevée présente au moins un défaut » avec une probabilitéq=1p. On reconnaît un schéma de Bernoulli, la variable Xsuit la loi binomialeb(100 , 0,92). B)1)b) 99 1 99 La probabilité demandée est :P(X=99)=C(0, 92)´(0, 08)=0, 002, résultat donné 100 0,5 3 à10près par défaut.  B)2)a) On sait que lorsqu’une variable aléatoire suivant la loi binomialeb(n,p)est approchée ( par unevariable aléatoire suivant la loi normalenm,σ)avec 1 2 m=n´p=100´0,92=92 etσ=npq=7,36=près.2, 71à 10 B)2)b) æY92 86,592ö P(Y£86,5)=P£ =P(T£ 2, 03)=1Π(2, 03)1 ç ÷ è2, 712, 71ø3 =0, 021près par défaut.à 10  B)2)c)1 3 On trouve de mêmeP(Y³89,5)=P(T£0,92)=0,821 à 10près par défaut.
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JoI
TRACE DE LA COURBE QUESTION EXERCICE 2 : A)4)
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