Mathématiques I 2004 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 58
• Langue: Français

Extrait

ESCP 2004, math 1, option scientifique

On noteEl’ensemble des fonctionsfdeRdansRpesquourliselleelueenixts´eeritsuleel s= (s n ) n∈N e´`ead,tpadaetif, telle que : ∗ n−1 X k ∗ ∀n∈N,∀x∈R, f(x=+ )s n f(nx) (1) n k=0 L’ensemble des fonctions deRdansR´etnotesF(R,R). Lespolynoˆmesconsid´ere´ssont`acoefficientsr´eels,ettoutpolynoˆmePsera confondu avec la fonctionpolynomiale,´el´ementdeF(R,R)eiuliuq,´ieessco.turestnaentallem Pour tout entier naturelpnon nul, et toute fonctionpsi´dreviableoff, deRdansRe,el´vire´da (p)0 pnioctonafeledme`i-fese´enttof`eredreemi´eeperival´d(fstaueeot´essinf). On rappelle que,Tta´eeer´unnt,lunnonltcnofenuionfdeRdansRest diteTp-e´irdoqieu lorsque : ∀x∈R, f(x+T) =f(x) L’objetduproble`meestded´eterminercertainesdesfonctionsf)1.uqtaoi(n´el’ntsaaisftisa

PartieI:R´esultatsg´ene´rauxetexemplesd’´el´ementsdeE

1)Soitftrappanoa`tnaneutincfoneE, autre que la fonction nulle. Montrer qu’il existe une uniquesuites= (s n ) n∈N adapt´ee`af, et ques 1 = 1. ∗ 0 2)Montrer que sifana`ttrnepaapleabiverd´ontincofenutseE´eeerivlad´lorsa,fdef appartienta`E. 3)rtiennentn`taesappasnocsnatfsnotcoirqreleuentMoE. 1 ´ 4)SoitAla fonction deRdansRuqai`xassociex−. Etablir queAdementel´e´tseE. 2 5) Econstitue-t-il un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielF(R,R) ? 6)Soitχla fonction deRdansR:´dinfierape  1 six∈Z ∀x∈R, χ(x) = 0 six6∈Z Pour tout entier naturel non nulnttelee´rtuoxstlancaesstdiguineretd´,enr,neminx∈Z n−1 X k etnx6∈Z, la valeur de la sommeχ(x+ ). n k=0 End´eduirequeχarppaa`tneitEetiusal,.1ela`e´agtn,esnatntco´etat´eeadap n−1 X k 2ipπ(x+ ) n 7)a)leeoPotru´rtuxet tous entiers naturels non nulspetnedd´e,ncaetlculerreuie, k=0 que : n−1 n X   k ncos(2pπx) sipest multiple den cos 2pπ(x=+ ) n 0 sinon k=0 b)Soitula fonction deRdansRa`iuqxassocie cos(2πx). Montrer queueitna`paaptrE, et pr´eciserlasuiteadapte´ea`u. 1 q+1 c)fiireuJtstruop,uoeltr´exledecnegdeire´sag´meeretlra´eenoc(s2,nverlacoπx). q 2 +∞ X 1 q+1 Soit alorsvla fonction deRdansRuqa`ixassocie cos(2πx). Montrer quev q 2 q=0 appartient`aEe´`eadtptiaealusiserr´ec,etpav.

PartieII:Recherchedespolynˆomese´l´ementsdeE

1)a)Montrer que siPdtneenˆompolystune´lme1ee´ge´rdedeEa,srolusaleaitptdaea´eu polynoˆmePetsocsnatnte,´egale`a1. b)nossleuQylopseltdeesomnˆ1a´egrdeetanppratna`E? 2)On suppose dans cette question quePetdeneml´´eulonnnoˆemlonyutpnesE, et on notep ledegre´deP. a)adtpe´`ealustiaentrerqueaMoPest la suites= (s n ) n∈N infier:ape´d ∗ 1 ∗ ∀n∈N, s n = p−1 n Z 1 b)Montrer que, sip’´alon1,´eitalegniomuatsa`lage´se:P(t) dt= 0. 0 0 ´ 3)Etablirque,pourtptuonyloemoˆQisexunteiqunpoueli,eomnˆlyPtel queP=Qet Z 1 P(t) dt= 0. 0 Onpeutdoncde´finirunesuite(B p ) p∈N :esomladepodenˆlyviusetnainamere`   B 0 = 1 Z 1 ∗ 0 pB p−1 e  ∀p∈N, B p = tB p (t) dt= 0 0 4)a)nrtatneirulemrete´Dou,perineequharcp,el´eetdegrefficilecodtnenimodtnaeB p . 1 b)uorte´leV´ifier,perrtouxlit´e:,’le´agB 1 (x) =x−, puis calculerB 2 (x)pourtoutr´eelx. 2 5)O´dana`jeaduvlansrtpaIqieueB 0 etB 1 ostnlee´ed´ssdementEeuqrrifie.V´eB 2 est e´le´mentdeE. 6)Soitpun entier naturel non nul. On suppose queB p−1 eml´tdenee´estEet on veut montrer queB p ´emet´elestnedE. Pour cela, on fixe un entier naturel non nulnet on pose, pour toutre´elx: n−1 X k1 ϕ(x) =B p (x+ ) etψ(x) =B p (nx) p−1 n n k=0 a)Montrer que la fonctionϕ−ψest constante. Z Z 1/n1/n b)Calculerϕ(x) dxetψ(x) dx. 0 0 ´ c)Etablir queϕ−ψ= 0 et conclure. 7)´cdeneetoisnrpe´desquestD´eduirelerutanreintteourtou,puesqppsel,eegr´sdedˆomeolynp ∗ quiappartiennenta`EsnotcmeetaxespoentlomeslynˆλB p obtenus lorsqueλriecd´tR.

´ PartieIII:Etudedesfonctionsind´efinimentde´rivablesdeE 1)Soitδla fonction deF(R,Ransl)da`otuq,ieˆemium-nioctonefutϕdeRdansR, associe la fonctionδ(ϕ)d´efinipera: ∀x∈R, δ(ϕ)(x) =ϕ(x+ 1)−ϕ(x) a)Montrer queδ´eeti´pr´ectracaQ.eriae´orpelleuonnosdesyau?esle´sinrielstemtnlee´ b)eV´fiireuqreol,euqsrPesnetuncfoontiestdemˆemedeopylonimla,elineδ(Perisecr´spui,p) ledegre´etlecoefficientdominantdeδ(P) lorsquePededets´egrp.1ge´ua`lari´eroeuups 2)Montrer que, sife´´lmeneodftcenitnoestuneEiuetdapat´eed,ses= (s n ) n∈N , on a : ∗ ∗ ∀n∈N,∀x∈R, s n δ(f)(nx) =δ(f)(x) (2) 2

∞ 3)Soitgune fonction de classeCdeRdansRnuetsixeli’uqesoppsuOn.r´eelαtel que : ∀x∈R, αg(2x) =g(x) (3) x k a)Montrer que :∀x∈R,∀k∈N, αg(x) =g(4)( ) k 2 b)Montrer que siα= 0, alorsgest nulle. c)Montrer que si|α|>1, alorsgest nulle. d)On suppose 0<|α|61. Justifier l’existence d’un entier naturelpel´enr’utdeβtels que : (p) (p) |β|>1 et∀x∈R, βg(2x) =g(x) e)ustosclee,qunsda,saiuer´ddenEgest polynomiale. ∞ 4)Dans cette question, on suppose quefest une fonction de classeC´el´nemeedtE, de suite adapte´es= (s n ) n∈N , et queδ(f) n’est pas la fonction nulle. ∗ a)Montrer queδ(f; on note) est une fonction polynomiale non nulleqgrde.´esno 1 ` b)A l’aide de (2), montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a :s n = q n q puismontrerqu’ilexisteunre´elnonnulatel que :∀x∈R, δ(f)(x) =ax. c)Pour chaque entier naturel non nulplafaat`tselure´riononctane,rertnom,nieredtcanqulipp polynomialeB p introduite dans la partie II, qu’on a : p−1 ∀x∈R, δ(B p )(x) =px d)xile’iqu´enreustleMnortreλnon nul et un entierpnon nul tels que la fonctionδ(f−λB p ) ´ soit nulle. Etablir alors que la fonctionh=f−λB p se,eedlcsareoiiduqp´1-ontincfonetuse ∞ Cl´ementdeet´eE.apadeet´esunteuice´rresie,pnet ´ PartieIV:Etudedesfonctionsind´efinimentde´rivableset1upe-sdeEqidoire´ 1)qeeutsoipn´rlemiDanscetteuqaiin,oreupnssepogest une fonction deRdansR, continue et1-p´eriodique,telleque,pourtoutr´eelx,g(nx) tend vers 0 lorsque l’entierntend vers +∞. a)Montrer que, pour tout entier naturelk,eg’´alon:e´tilag(k) = 0. 1 b)Montrer quegntmeon,mertre,quruoptuotitneerrelatif)=(su´g.0lParelnee´pet tout 2 p entier naturel non nulqna,o´el’ligae:t´g( )= 0. q c)uirequenEde´dgest la fonction nulle. ∞ Dans toute la suite de cette partie, on suppose quefest une fonction de classeCuqid,e´p-t1eoire e´le´mentdeEeeetdapa´t,duiess= (s n ) n∈N . ∗ Z x+1 2)a)noitacilppa’leuqel´etrouati`quMontrerxassocief(t) dtest constante. x Z 1 s n b)Pourtoutr´eelx, montrer quef(nx) tend versf(t) dtlorsque l’entierntend vers +∞. n 0 |s n | 3)On suppose dans cette question quetend vers +∞lorsque l’entierntend vers +∞. n Montrer,`al’aidedelaquestion1),quefest la fonction nulle. 4)ion,uesttteqnsceaDilu’tqenemalern´e´gsulpesoppusnounteisexnaertienlerutktel que k n|s n |tend vers +∞lorsque l’entierntend vers +∞. a)ned´eriv´eed’orderussffinadteonMertrcne,isnore´dutnaf, quefest polynomiale. b)Montrer quefest constante. ` ∞ 5)cealssecnitnodsitraIIIedlanpaleelqufoeson,mertrA’ltatfiesuldur´aideCappartenant `aEesdutypelopsnoitelaimonyenemctxancfoestldoqie´irnoeteussnesotquis1-pntpaλB p , ∗ ∗ obtenues lorsquepitde´rcNetλdcr´eitR.

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