Mathématiques I 2004 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 430
• Langue: Français

Extrait

CONCOURS D’ADMISSION DE 2004 Option technologique MATHEMATIQUES Jeudi 6 mai 2004 de 8h à 12h La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. Si au cours de l’épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. EXERCICE I : Suites récurrentes et calcul matriciel On considère une population deNindividus oùNest un entier naturel non nul. L’objet de cet exercice est l’étude de l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés de cette population à un service. Les deux cas étudiés successivement aux questions2°)et3°)sont indépendants. Pour des raisons évidentes de modélisation, les suites exprimant des nombres d’individus pourront prendre des valeurs non entières. L’exercice commence par un rappel concernant les suites arithméticogéométriques, qui sera utilisé dans la question2°). 1°)Suites arithméticogéométriques On considère une suite numérique ( x définie par son premier terme, le réel, et la relation de n 0 n∈` récurrence : = +∀n∈` , n+1 a x n b oùaetbsont deux réels tels que a≠0 , a≠1 et b≠0 . On dit alors que la suite ( ) est arithmético n géométrique. a)Montrer qu’il existe un unique réel α tel que : α =aα +b . b)On pose alors, pour tout entier naturel n : y=x− α . n n Montrer que la suite ( y ) est géométrique de raison a . n

2°)Durée de l’abonnement égal à 1 an Il est proposé à une population de N de s’abonner à un nouveau service. L’abonnement individus d’une durée de 1 an est renouvelable à la fin de chaque année. On note a le nombre d’abonnés à ce 1 service la première année, a le nombre d’abonnés la deuxième année, etc. On pose a =0 . 2 0 On suppose que 5 abonnés sur 6 renouvellent leur abonnement en fin d’année et que un tiers des non abonnés d’une année s’abonnent l’année suivante. a)i) Montrerque : 1N a=a+ ∀n∈` , n+1n . 2 3 ii)Exprimer alors, pour tout entier naturel n , le nombre a  d’abonnésla n ième année en n fonction de n et de N . iii)Déterminer la limite de la suite (a) . n On suppose jusqu’à la fin de la question2°)queN=15 000 . b)Justifier la croissance de la suite (a) . À partir de quelle année le nombre d’abonnés dépassetil n 9 900? c)On suppose que l’entreprise qui propose ce service dégage des bénéfices sur un an à partir de 8 000abonnés. i)Expliquer pourquoi l’entreprise est bénéficiaire sur l’ensemble desn premièresannées lorsque : n a≥8 000n . ∑ k k=1 ii)Montrer que l’inégalité précédente est équivalente à la suivante : 1n + −1≥0 . n 2 5 1n iii)On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à 1, s+ −1 . n n 2 5 Montrer que la suite ( ) est croissante à partir du rang n=2 et calculer ses premiers termes n afin de conclure quant au nombre d’années nécessaire pour que l’entreprise dégage des bénéfices. 3°)Durée de l’abonnement égal à 2 ans Il est proposé à une population deNindividus de s’abonner à un nouveau service pour une durée de 2 ansrenouvelable. Les abonnés sont de deux sortes: ceux qui en sont à la première année de l’abonnement en cours et on note u nombre la leurn; ceux qui en sont à la secondeième année n année de l’abonnement en cours et on note v leur nombre lanième année. On note w le nombre de n n personnes qui ne sont pas abonnés lanième année. On pose u 0 , v =0  et w = N . On suppose 0 00 que 8 abonnés sur 10 en fin de contrat renouvellent leur abonnement en fin d’année, que 8 non abonnés sur 10 d’une année s’abonnent l’année suivante et qu’aucune personne ne résilie le contrat en cours d’abonnement. a)Soitnun entier naturel. Exprimer u n+1 , v n+1 puis w + en fonction de u n , v n et w n . n1 ⎛ 0 4 4 ⎞ ⎛ u n ⎞ 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ SoitAla matrice. Pour tout entier naturel5 0 0nla matricecolonne, on notev. ⎜ ⎟⎜ ⎟ n n 5 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 0 1 1w ⎝ ⎠⎝ n ⎠ b)Reconnaître le résultat du produit matriciel X . n

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0 ⎛ u n ⎞ ⎛⎞ ⎜ ⎟ n ⎜ ⎟ c)Montrer alors par récurrence que pour tout entier natureln:v=A0 . n ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ w N ⎝ n ⎠⎠ ⎝ ⎛ 40 4 ⎞ ⎜ ⎟ −1 d)On poseP= −1−5 4. Montrer queP.est inversible et calculer ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 11 ⎝ ⎠ e)Soitnun entier supérieur ou égal à 1. −1n i)On pose D=P AP . CalculerDet en déduire D . n n−1n ii)Montrer que =PD P .puis calculer iii)En déduire les expressions de u , v et w en fonction den. n nn iv)Quel commentaire inspire le résultat du calcul de la somme u+v+w ? n nn f)Déterminer les limites de chacune des trois suites (u) , (v) et (w) . n nn EXERCICE II : Analyse et probabilités 1°)Étude d’une fonction polynomiale Soithréel appartenant à un [ . On considère la fonction polynomiale du second degré18 ; 18, 75p définie pour tout réeltpar : 2 (t)=t+t+18−h . a)Montrer quepdeux racines distinctes, admet t  et t , dont on déterminera les expressions en 1 2 fonction deh(on notera t (la plus grande des deux racines). Quel est le signe det) ? 2 b)Vérifier que : t 0≤ t ≤0, 5 . 1 2 2°)Loi uniforme sur l’intervalle [ 0 ; 0, 5 ] On dit qu’une variable aléatoire réelleX, définie sur un espace probabilisé, suit la loi uniforme sur l’intervalle [ 0 ; 0,5 ] si elle admet comme densité la fonctionfdéfinie sur\par : ⎧ f(x)=2 six∈0 ; 0,5 ] ⎪ ⎨ x=x∉ ⎪ f0 si( ) [ 0 ; 0,5 ] . ⎩ Pour calculer l’intégrale d’une fonction continue sur un segment et nulle en dehors, on utilisera la relation de Chasles comme dans l’exemple cidessous : +∞0 0,5+∞0 0,5+∞ f(x) dx=f(x) dx+f(x) dx+f(x) dx=0 dx+2 dx+0 dx=0+0,5×2+0=1 ∫ −∞ ∫ −∞ ∫ 0 ∫ 0,5 ∫ −∞ ∫ 0 ∫ 0,5 SoitXune variable aléatoire réelle suivant la loi uniforme sur l’intervalle [ 0 ; 0,5 ] . a)Quelles sont les valeurs prises parX? b)de la variable aléatoireDéterminer la fonction de répartitionXtracer sa courbe et X représentative dans un repère orthonormé. c)Calculer l’espérance et la variance deX.

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3°)Étude de l’heure d’arrivée au cinéma Deux étudiants, Julie et Cédric, vont chaque semaine voir un film à la séance de 18h 30d’un complexe cinématographique. À chaque fois, Julie passe prendre Cédric en voiture au domicile de celuici entre 17 h et 17 h 30 avant d’aller ensemble au cinéma. On suppose que Julie arrive au domicile de Cédric à l’instant 17+T en heures), où la (exprimé variable aléatoireTsuit la loi uniforme sur l’intervalle [ 0 ; 0,5 ] . Ensuite, étant donné la circulation, on 2 suppose que la durée du trajet domicilecinéma est donnée par la variable aléatoire T+1 . Enfin, on noteHl’heure d’arrivée des deux étudiants au cinéma. a)Donner l’expression de la variable aléatoireH enfonction deT. Quel est l’ensemble des valeurs prises parH? b)de la variable aléatoireOn cherche à déterminer la fonction de répartitionH. H i)hétant un réel, déterminer (h) dans les cas h<18 et h>18, 75 . H ii)Soithun réel de [ 18 ; 18, 75 ] . Montrer que : (h) = P(t ≤ T ≤ t) , H1 2 où t et t sont les expressions trouvées à la question1°), puis que : 1 2 F(h)=4h−71−1. H Dans les questions c) et d) qui suivent, après avoir donné les valeurs exactes des probabilités demandées, on vérifiera que les résultats obtenus sont bien compris entre 0 et 1 sans nécessairement en calculer des valeurs approchées. On donne à cet effet les approximations suivantes: 31, 73  et 113,31 . c)Calculer la probabilité que les deux étudiants arrivent au cinéma avant 18 h 30. d)Le film commence en fait à 18 h 40 après quelques bandes annonces et réclames. i)Calculer la probabilité que les deux étudiants arrivent au cinéma avant le début du film. ii)Sachant que les étudiants ne sont encore pas arrivés à 18 h 30, quelle est la probabilité qu’ils arrivent avant le début du film ? iii)Sachant que les étudiants sont arrivés avant 18quelle est la probabilité qu’ils soienth 40, arrivés après le début de la séance ? e)On admet que la variable aléatoireHadmet pour densité la fonctiongdéfinie sur\par : ⎧ 2 g(x)=six∈ [ 18 ; 18, 75 ] ⎪ − ⎨ 4x71 ⎪ g(x)=0 six∉ [ 18 ; 18, 75 ] . ⎩ Calculer l’espérance de l’heure d’arrivée des deux étudiants au cinéma (on pourra effectuer le changement de variabley=4x−71 et on exprimera le résultat en heures et en minutes). ***

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