Mathématiques I 2004 Classe Prepa HEC (STG) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2004
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français

Extrait

MATH HEC T

EXERCICE Unfabricantquidoitfournir`asesclients24000te´l´eviseurssurunep´eriodede12mois,fabriqueceste´l´eviseurs enndesiree´sqe´csahucne,nutinetqetantdes´rutansleitnensrequesne’unuonD`l.iruqftbaeise´sreelle´ee, eststocke´eetsalivraisonauxclientss’effectuependantunintervalledetempst,tcietemtn´etantunr´eelstr positif.Larupturedestockn’e´tantpastole´r´ee,l’´epuisementdustockd’unese´riecoı¨ncideavecl’arriv´eede lase´riesuivante.  nq= 24000 Les variables,n, q, tanivsunsioatqu´eselcnodtnefiire´vet:s nt= 12 Onappellecoˆutdefabricationpars´erie,C s utoˆucedkaocstdeseiuq,egtroporptionnelauxosmm,al nombresqettsectq,iuniseamhcisteilexant:onst´eprrapaontideetimerneesrdrosedee,dtcuˆotued doncdeuxconstantesre´ellesstrictementpositivesaetbtila:e´antl’´egv´erifiC s =a q t+b. Le nombreaeeltin´trbenemoss´terercuonleeuneuied’ede´tinuuopspmettoestdˆuarepagckbtlesoˆecut depr´eparationetderemiseenordredesmachinespourunese´rie. 1.Donner l’expression deCttˆuco,rlesnpoutaoirbciedaftolanriess´ednoiefne,tcnoa, betq. b 2.Soitf a, b laur]0´dfieinseofcnitno,+∞[ par :f a, b (x) = 12a x+ 24000∙Montrer que la fonctionf a, b x admet un minimum en un pointq 0 de l’intervalle ]0,+∞urlevalasire´rce[P.f a,b (q 0 ) de ce minimum. 3.On suppose, dans cette question seulement, que l’on a :a= 0,2 euros etb= 100 euros. a)Repr´esentergraphiquementlafonctionf a, b ,ttinuese´teen00r2eparesr´ane(e,sscibsrroump1c enordonn´ee,1cmpourrarepr´esenter1000euros). b) Donnerla valeurq 0 deqerroctaoirbciedaftolaˆuttaucodantsponececutoˆnimnlaminia,uqis minimal,lenombredes´eriesnet la valeur detse´icossa`aq 0 . c) Onsuppose que, pour des raisons techniques, le nombreqvarie de 1% autour deq 0 edarise`t,’c entre 0,99q 0 et 1,01q 0 . Z 1010 Calculerl’inte´gralef a,b (x) dxraeuroppunrealevlavamruee´hcledeenedyonene´ddeiute 990 la fonctionf a, b sur l’intervalle [0,99q 0 ; 1,01q 0 ns,e]ntsapoupuq,eopruottu´reelxvoisin de 0, on peut confondre les nombres ln(1+x) etx. f a, b (q 0 ) 4.Calculer le rapport∙bmerelonosu`elacdansque,uired´ednEaga´ea0l`ste´efix,2 euros alors q 0   que le nombreboodrno´nopnidtcevarie,leseeq 0 , f a, b (q 0 ne`prenuerusureetsplunnsdad’nimuan) droitefixequel’onpre´cisera.Tracercettedroitesurlegraphiquedelaquestion3.a.

1/3

5.Calculer le produitq 0 f a, b (q 0 uq,eiuer´dde.)nElenoso`ulecadanserbmbe´xfiage´tsesroa1l`eu00   alors que le nombreaavirtdecoordeo,nlne´epeosinq 0 , f a, b (q 0 nulpnaum)adsnerp`steed’nireun surunecourbefixequel’onpr´ecisera.Tracercettecourbesurlegraphiquedelaquestion3.a. ` PROBLEME Danstoutleprobl`eme,onconside`reunesuiteinfiniedelancersd’unepi`ecee´quilibr´ee,c’est-`a-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsde✭pile✮et de✭face✮t´equiprsonbobael.s Onadmetquel’expe´rienceestmode´lise´eparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnngperand,osi´eF n ement’le´´vne✭aluatıˆaaredrecnngfaceapparn✮et parF n mene´vne´el’t✭pile apparaˆıt au lancer de rangn✮. ´ Partie I : Etude d’un jeu de✭pile ou face✮ 0 Deux joueursJetJs:sivsuteanonssestlse`rgeelejdunoltntdansle’affronte •le joueurJest gagnant si la configuration✭pile, pile, face✮asslantdsrdeteuiıˆarappae´ustltadsse lancers, avant que la configuration✭face, pile, pile✮n’apparaisse ; 0 •le joueurJest gagnant si la configuration✭face, pile, pile✮sdesantdasslpaapˆırause´tatletiursed lancers, avant que la configuration✭pile, pile, face✮n’apparaisse ; •si l’un des joueurs est gagnant, l’autre est perdant. 0 Onseproposedede´montrerque,danscejeu,lejoueurJsse`ednuenatavtnagesurlejoueurpoJ. 1.Pour tout entier naturelnisngdne´perannno,oulD n enem´ev´’lent✭lors desnpremiers lancers n’apparaissentjamaisdeuxpilescons´ecutifs✮et pard n obprilabe´tisa. 3 a)Justifierles´egalit´esd 1 = 1 etd 2 =∙ 4 b)Enconsid´erantlesr´esultatsdeslancersderang1,2et3,calculerd 3 . ` c)Al’aidedelaformuledesprobabilit´estotalesetdese´ve´nementsdisjointsF 1 etF 1 ∩F 2 ´,il,rteba 1 1 pour tout entier naturelnviusetnalagee´tiulnn’´,l:nod n+2 =d n+1 +d n . 2 4   n 6 d)V´erifierpourn= 1 et pourn:se´tilage´nies,l=2d n 62 . 7   n 6 Montrer que, sinietrrnelnanunuetvelet´snounntlerifiaegalsin´se´tid n 62 et 7    n+1n+2 6 6 d n+1 6nie´agil´tseiuavnteestv´erifi´ee:2l’,d n+2 62 . 7 7   n 6 Ende´duire,pourtoutentiernaturelsup´erieuroue´gal`a3,l’ine´galit´e:d n 62 . 7 n X e) Pour tout entier naturelnnon nul, on pose :S n =d k . Montrer que la suite (S n ) n>1 est k=1 croissante,major´eepar12etende´duirelaconvergencedecettesuite. 1 15 f) Justifier,pour tout entier naturelnegalit´e:onnnlul,´’S n+2 =S n+1 +S n +∙ 2 44 +∞ X Ende´duirel’e´galit´e:d k = 5. k=1 2.renapseginO´dTalopdnavruuqererpi´ealoiatrivaleabusdequeulrleua’`d’nlsseingdulancleurlera joueursestd´eclar´egagnant,sicelaseproduit,etlavaleur0siaucundesjoueursn’estgagnant. Pourtoutentiernaturelnonnul,l’´eve´nement[T= 0]∪[T >netsiulseenemits]sedtnorce´lasie´ aucune des deux configurations✭pile, pile, face✮ou✭face, face, pile✮n’est apparue au cours desn premiers lancers. a)Calculerlesprobabilit´esdes´ev´enements[T= 1],[T= 2] et [T= 3]. 1 b) Soitnerl’stifi3.Jual`a´ugeueore´irsrpuientneuga´et´lie:P([nT >]∪[T+= 0]) =d n ∙ n 2

2/3