Mathématiques I 2006 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 21 février 2007
• Nombre de lectures: 192
• Langue: Français

Extrait

A 2006MATH. IMP

ÈCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÈES. ÈCOLES NATIONALES SUPÈRIEURES DE L’AÈRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÈES, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÈTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÈLÈCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÈCOLE POLYTECHNIQUE (Filire TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2006

PREMIRE PREUVE DE MATHMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES I - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

PourK=RouC, on noteM n,l (K)l’ensemble des matrices Ànlignes etlcolonnes À coefficients dansK. Un lment deM n,l (R)sera considr comme lment deM n,l (C). Dans la suite, on identifie les matrices carres (respectivement les matrices colonnes) et les endomorphismes (respective- n ment les vecteurs) canoniquement associs dansC: par exemple, on note n par la mme lettre une matriceTdeM n,n (R)et l’endomorphisme deC n dontTest la matrice dans la base canonique deC. l SiM∈ M n, l (K)etx∈K,(M x) i dsigne lai-ime composante du n vecteurM x∈K. On noteI n la matrice identit deM n,n (C). Pourx= n (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )∈K, on note n X kM xk 1 kxk 1 =|x i |etkMk 1 = sup, x∈K\{0} kxk 1 n i=1 pourM∈ M n,n (K), la norme matricielle subordonne. DÉfinition 1On dit qu’une matriceM∈ M n,l (R),de coefficients notÉs (m ij ,1≤i≤n,1≤j≤l), est positive (respectivement strictement po- sitive), ce que l’on noteM≥0(respectivementM >0), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs): m ij ≥0( resp.m ij >0) pour tout(i, j)∈ {1,∙ ∙ ∙, n} × {1,∙ ∙ ∙, l}. Pour deux matricesMetNdeM n,l (R),M≥N(respectivementM >N) lorsqueM−N≥0(respectivementM−N >0). Une matriceM∈ M n,n (R)de coefficients notÉs(m ij ,1≤i, j≤n)est dite stochastique lorsqu’elle est positive et que de plus n X m ij = 1,pour toutj∈ {1,∙ ∙ ∙, n}. i=1 + On dfinit les ensemblesB,BetΣpar : n B={x∈R/ x≥0etx6= 0}, +n B={x∈R>/ x0}, n Σ ={x∈R/kxk 1 = 1}. Nous souhaitons montrer le rsultat suivant: ThÉorÈme 1 (Perron-Frobenius)SoitT∈ M n,n (R)stochastique telle n−1 que(I n +T)>0. Il existe un vecteur strictement positifx 0 satisfaisant T x 0 =x 0 . Toutes les valeurs propres deTsont de module infÉrieur À1et pour tout vecteurydeΣ∩B, k−1 X 1x 0 j limT y=. k→+∞ kkx 0 k 1 j=0

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Les deux parties sont dans une large mesure indÉpendantes.

I Unvecteur propre strictement positif On suppose queTest un ÉlÉment positif deM n,n (R)tel que n−1 P= (I n +T)est strictement positive. + 1) Montrerque pour toutx∈B, l’ensembleΓ x ={θ∈R/ θx≤T x}est non vide, ferm et born.

On noteθ(x)son plus grand lment.

2) Montrerque pour toutx∈B, on peut calculerθ(x)de la manire sui- vante :   (T x) i θ(x1) = min≤i≤netx i 6= 0. x i

+ On noteθl’application deBdansRqui Àxassocieθ(x).

3) Montrerque pour toutα >0et toutx∈B,θ(αx) =θ(x).

+ 4) MontrerqueP(B)⊂B.

5) Montrerque pour toutx∈B,θ(P x)≥θ(x)etθ(P x)>0.

6) Soitx∈Bun vecteur propre deT. Montrer queθ(P x) =θ(x).

7) Soitx∈Btel queθ(P x) =θ(x), montrer quexest un vecteur propre deTpour la valeur propreθ(x).

8) SoitC=B∩Σ. Montrer que l’applicationθest continue deP(C)dans R.

9) Justifierl’existence dex 0 ∈P(C)tel queθ(x 0 sup) =θ(x). x∈P(C)

10) Montrerquesupθ(x)≥supθ(x). x∈P(C) x∈C 11) Montrerquesupθ(x) = supθ(x). x∈B x∈C 3

12) Montrerquesupθ(xsup) =θ(x)et queθ(x 0 ) = supθ(x). x∈C x ∈P(C) x∈C On poseθ 0 =θ(x 0 ). 13) Montrerquex 0 est un vecteur propre, strictement positif, deTpour la valeur propreθ 0 et queθ 0 >0.

II UnemÉthode d’approximation n−1 On suppose maintenant queTest stochastique et telle queP= (I n +T) est strictement positive.

n+ Pour un vecteurx= (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )deC, on notexle vecteur(|x 1 |,∙ ∙ ∙,|x n |), oÙ|z|est le module du complexez. Pour tout entierk≥1, on pose k−1 X 1 j R k =T . k j=0 n 14) Soitθ∈Cetx∈Cun vecteur propre deTpour la valeur propreθ. + + Montrer que|θ|x≤T x. 15) Endduire que|θ| ≤θ 0 .

+ + 16) Montrerque|θ| kxk 1 ≤ kxk 1 et en dduire que|θ| ≤1.

17) Endduireθ 0 = 1. j 18) Montrerque pour toutj≥1,TetR j sont des matrices stochastiques. 19) tablir,pour toutk≥1, les ingalits suivantes: k kTk 1 ≤1etkR k k 1 ≤1.

2 20) Montrerque pour toutk≥1,kT R k −R k k 1 ≤. k n 21) Soitx∈C, montrer que la suite(R k x, k≥1)a au moins une valeur d’adhrence.

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22) Soityune valeur d’adhrence de la suite(R k x, k≥1), montrer que T y=yet que pour toutk≥1,R k y=y.

23) Soityetzdeux valeurs d’adhrence de(R k x, k≥1), montrer pour tous les entiersmetl, l’identit suivante:

y−z=R l (R m x−z)−R m (R l x−y).

24) Montrerque la suite(R k x, k≥1)a exactement une valeur d’adhrence.

25) Montrerqu’il existe une matriceRtelle queRx= limR k xpour tout k→+∞ n x∈CetlimkR k −Rk 1 = 0. k→+∞

26) MontrerqueTetRcommutent.

2 27) MontrerqueRT=RetR=R.

28) CaractriserRen fonction deKer(T−I n )etIm(T−I n ).

29) Onadmet queKer(T−I n )est de dimension1. Pourx∈B, expliciter Rxen fonction dekxk 1 ,kx 0 k 1 etx 0 .

FIN DU PROBLME

Ce thÉorÈme possÈde d’innombrables applications. L’une des derniÈres est son utilisation dans le classement (PageRank) des pages Web effectuÉ par le plus connu des moteurs de recherche.

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