MATHÉMATIQUES I Filière TSI

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Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES I Filière TSI Concours Centrale-Supélec 1999 Le but de ce problème est l'étude des solutions réelles d'une équation différen- tielle. Les trois parties de ce problème sont dans une large mesure indépendantes. Notations Pour tout entier relatif l'intervalle est noté . On considère les équations différentielles linéaires : Partie I - I.A - I.A.1) Montrer que les intégrales : et sont divergentes. I.A.2) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction : : I.B - I.B.1) Décomposer en éléments simples sur le corps des réels la fraction rationnelle : I.B.2) À l'aide d'un changement de variables, calculer pour apparte- nant à . I.C - Résoudre l'équation différentielle sur l'intervalle pour tout entier relatif . I.D - Existe-t-il des solutions de de classe sur ? I.E - Exprimer les solutions de sur à l'aide des fonctions définies sur par : où est un réel strictement positif. k ] - p 2⁄ k p+ p 2⁄ k p [+, Ik E0( ) cos x( ) 1 cos 2 x( )+( ) y ¢ sin3 x( ) y+ 0= E1( ) cos x( ) 1 cos 2 x( )+( ) y ¢ sin3

équation différen- tielle

tangentes au point d'abscisse des courbes

courbe d'équation

tangentes aux points d'abcsisse

equation différentielle linéaire

lieu des points

u10 u11

développement en série de fourier

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Équation différentielle linéaire

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/4

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure

géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue

que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie

concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues

périodiques

ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-

tats des parties I et III pour montrer que la fonction

n’est dérivable en aucun

point de

On note

et on désigne par

l’espace des fonc-

tions de

dans

qui sont continues et

périodiques.

on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour

par

, la série de Fourier (formelle) de

étant

Partie I -

Définition de la fonction

I.A -

On suppose l’espace

muni de sa structure euclidienne canonique. On

définit

par :

où

est la projection orthogonale de

sur la droite passant par

I.A.1)

On suppose

et l’on pose

où

Que représentent les points

par rapport au triangle

I.A.2)

Montrer que si

alors

I.B - Pour

on pose

et on définit par

récurrence pour

la suite

par

I.B.1)

Soit

. Montrer que, si l’on a

, alors

]0,

[

→

–

]0,

[

∗

\ 0

{

}

∗

\ 0

{

}

–

∈

(

)

-----

(

)

–

∫

–

(

)

∈

∑

→

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

–

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

≠

(

)

(

)

–

(

)

′

(

)

′

–

(

)

′

(

)

(

)

(

)

′

ABC

(

)

(

)

≠

–

(

)

–

(

)

-------------------------------

–

(

)

–

(

)

-------------------------------

]0,

[

∈

(

)

cotan

, ,

(

)

∈

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

∈

]0,

[

∈

(

)

(

)

(

)

(

)

–

Voir