Mathématiques II 2000 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques II 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2000 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 84
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

EXERCICE I 0 1 1 2 @ A Dans tout lexercice,désigne un paramètre réel.On considère la matriceA  = 1 et on 22+ 1 3 3: notelendomorphisme deRreprésenté parA  dans la base canonique deR  1. (a)Montrer que, quel que soit, lendomorphismeadmet la valeur propre1.  (b) OnnoteE 1 ()le sous-espace propre deassocié à la valeur propre1.  Déterminer, suivant les valeurs de a, une base deE 1 (). 3 2. Onconsidère les vecteursf 1 = (1;1;1)etf 2 = (1;1;2)et on noteF 1 le sous-espace deRengendré par f 1 etf 2 . (a) Montrerque(f l ; f 2 )est une base deF l . (b) Montrerque limage parde tout vecteur deF 1 appartient àF 1 .  ^ endomorphisme deFinduit p (c) Soit  l 1 ar, cest-à-dire vériant,.pour tout vecteurVdeF 1 ,  ^ (V) =(V)   ^ er la matre)deF 1 . Donn iced  dans la base(f l ; f 2 3. Montrerque, pour tout réel, lendomorphismeadmet la valeur propre1et quon peut trouver un  3 vecteurf 3 deRne dépendant pas de, qui soit, pour tout réel, vecteur propre deassocié à la valeur  propre1. 3 e dean (a) Montrerque(f l; f 2 ; f 3 )est une base deR. Donnerla matric  cette base.d s (b) Pourquelles valeurs du paramètrelendomorphismeest-il diagonalisable ? 

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EXERCICE II I. Étude dune suite vériant une relation de récurrence linéaire Étant donné un paramètre réel >0, on noteElespace vectoriel des suitesU= (u n ) n>0 de réels qui vérient, pour tout n positif, la relation

u=(u+u) n+2n+1n n n 1. Montrerquon peut trouver deux réelsrets, avecr < s, tels que les suitesR= (r) n>0 etS= (s) n>0 forment une base de lespace vectorielE:Exprimerretsen fonction deet comparerjrjetjsj: 2 2. Étantdonné un élémentU= (u n ) n>0 deEsécrivantU=aR+bSavec(a; b)2R, donner lexpression de aetben fonction deu 0 etu 1 : 1 3. Onsuppose, dans cette question, que lon a0< a <: 2 SoitU= (u n ) n>0 un élément deE. (a) Montrerque la suiteUconverge vers0. (b) Siu 1 u 0 rnest pas nul, montrer quil existe un indicen 0 tel que, pourn > n 0 ,u n ne sannule pas et garde un signe constant et que lon a : lnjuj n lim =ln(s) n n!+1 (c) Montrerque si, au contraire,u 1 u 0 rest nul et si la suite(u n ) n>0 nest pas identiquement nulle, alors, pour tout entiernpositif,u n etu n+l sont de signes contraires.Quel équivalent peut-on donner, dans ce cas, delnju n j? 1 4. Onsuppose, dans cette question, que lon a< a: 2 À quelle condition suruetulélémentU= (u)deEMontrer que les élémentsest-il une suite bornée ? 0 1n n>0 de E qui sont des suites bornées forment un sous-espace vectoriel de E dont on précisera la dimension.

II. Étude dune récurrence non linéaire Soitun réel strictement positif.On notem= min(l; )le plus petit des nombres1etetM= max(l; )le plus grand de ces nombres. On considère la suiteV= (v n ) n>0 vériantv 0 = 0,v 1 =et, pour toutnpositif, la relation p p v=v+v n+2n+1n 1. Montrer,pour toutnstrictement positif, linégalitém6v n 64M: 2. Montrerque si la suiteV= (v n ) n>0 admet une limite, cette limite est nécessairement égale à4. On se propose de montrer que, pour toutstrictement positif, la suiteVadmet e¤ectivement pour limite 4. 3. Montrer,pour toutnpositif, linégalité jv4j jv4j n+1n jv n+2 4j6 p + p v n+1 + 2v n + 2 1 4. Onpose= p et on considère la suite U = (u n ) n>0 vériant la relation de récurrence linéaire m+ 2 u n+2 =(u n+1 +u n ) et les conditions initiales,u 0 =jv 1 4jetu 1 =jv 2 4j. Montrer que, pour tout n strictement positifjv n 4j6u n1 .

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5. Enconclusion, montrer à laide des résultats de la première partie que la suiteVconverge vers4. 6. Écrireun programme Turbo-Pascal qui lise un entierNet un réelet qui a¢ che, en sortie, lesNpremiers termes de la suiteV.

EXERCICE III Sachant quun appareil a fonctionné correctement pendant une certaine durée x, on sintéresse à la probabilité pour quil continue à bien fonctionner pendant encore au moins une durée y.Pour cela on convient de représenter la durée de vie de ce type dappareil par une variable aléatoire réelleXdénie sur un espace probabilisé dont on notera la probabilité P. Lexercice a pour objet létude de quelques fonctions liées à cette durée de vie.

I.   On suppose dabord queXprend ses valeurs dansNet que, pour toutndeN,P(X=n)Onnest pas nul.  pose; pour toutndeN, 1 X p n p n =P(X=n); G n =P(X>n) =p k etZ n = G n k=n 1. Justierles inégalités0< p n < G n 61et0< Z n <1. 2. SoitnÉtablir légalitéun entier naturel.P(X>n+ 1=X>n) = 1Z n . (a) Montrerque la suite(P(X>n+ 1=X>n)).est constante si et seulement si la s n2N uite(Z n ) n2N   est constante. (b) Vérierque les conditions précédentes sont réalisées dans le cas où la loi deXest une loi géométrique. (c) Réciproquement,on suppose quil existe une constante p appartenant à]0;1[telle que la suite(Z)  n n 2N soit la suite constante égale àp. Montrerpar récurrence queXsuit une loi géométrique.   p n+m  lors la suite( ) 3. Montrerque si, pour tout entiermdeN, la suiteest décroissante, aZ n n  2N p n  n2N est croissante et la suite(P(X>n+ 1=X>n))  est décroissante.(On dit alors quil y a vieillissement n2N de lappareil dontXest la durée de vie.)

II. On suppose maintenant que la variable aléatoireXprend ses valeurs dansR* + et admet une densité f continue  et strictement positive surR, On pose, pour tout réel strictement positifx, + +1 Z f(x) G(x) =f(t)dtetZ(x) = G(x) x G(x+y) 1. (a)Si x et y sont des réels strictement positifs, on poseH(x; y) =. G(x)  Montrer que lon a alors, pour tout couple(x; y)deR, légalité : + @H G(x+y) (x; y) =(Z(x)Z(x+y)) @x G(x)  (b) Montrerque la fonctionx!Z(x)est une fonction croissante surRsi et seulement si, pour tout réel + ystrictement positif xé, la fonctionx!P(X>x+y=X>x)est une fonction décroissante. 2. (a)Montrer que si la loi deXest une loi exponentielle, alors la fonctionZest constante. (b) Réciproquement,montrer que siZest la fonction constante égale au réel strictement positif, alors la x fonctionx!e G(x)Quelle est alors la loi deest constante.X?

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