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Mathématiques II 2001 BTS Informatique de gestion

3 pages
Examen du Supérieur BTS Informatique de gestion. Sujet de Mathématiques II 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2001 sur Bankexam.fr.
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BTS INFORMATIQUE DE GESTION
SESSION 2001
EF2
:
MATHÉMATIQUES II
Durée : 1 heure
Coefficient : 1
ÉPREUVE
FACULTATIVE
Le (la) candidat (e) doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
EXERCICE N° 1
(10 points)
On se propose de résoudre sur [ 0 ,
+
[ l’équation différentielle (E) :
2
(2
1)
(2
1) ' 2
1
x
x
y
y
x
+
+
-
=
+
.
1)
Donner toutes les solutions de l’équation homogène associée à (E) :
(
)
2
1
' 2
0
x
y
y
+
-
=
.
2)
Montrer que la fonction
f
, définie par
( )
(2
1) ln(
1)
f x
x
x
=
+
+
est une solution particulière de (E).
3)
Déduire des questions précédentes toutes les solutions de (E).
4)
a)
Effectuer un développement limité d’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction
f
. On l’écrira sous la
forme
3
( )
( )
( )
f x
p x
x
x
ε
=
+
, avec
0
lim ( )
0
x
x
ε
=
.
b)
On admet que
0,3
0
( ) d
K
p x
x
=
est une bonne valeur approchée de l’intégrale
0,3
0
( ) d
f x
x
.
Calculer la valeur exacte de
K.
BTS INFORMATIQUE DE GESTION
EF2 – MATHÉMATIQUES II
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EXERCICE N° 2
(10 points)
Une entreprise de chemins de fer a demandé à 100 de ses clients, pris au hasard, le prix du billet en leur
possession, afin d’évaluer le prix moyen
m
du billet pour l’ensemble de tous ses clients (on suppose qu’ils
sont assez nombreux pour qu’on puisse assimiler l’interrogation de chaque client à un tirage avec remise).
On a regroupé les résultats, par classes, dans le tableau suivant :
Prix (en F)
[0 ; 200[
[200 ; 400[
[400 ; 600[
[600 ; 800[
[800 ;1000[ [1000 ; 1200[
Nb de clients
7
22
35
20
12
4
Pour les calculs d’écart type demandés aux questions 1) et 2), on donnera les valeurs décimales arrondies
à
2
10
-
près.
1)
a)
Calculer la moyenne
e
m
et l’écart type
e
σ
de cet échantillon (on suppose que, pour chaque classe,
tous les prix sont situés au centre de cette classe).
b)
Donner une estimation ponctuelle du prix moyen
m
du billet et de son écart type
σ
.
2)
a)
En utilisant les estimations ponctuelles précédentes, donner un intervalle de confiance de
m
au
seuil de confiance de 95 %. On donnera, pour les bornes de cet intervalle, les valeurs décimales
arrondies à
1
10
-
près.
b)
m
est-il forcément dans l’intervalle précédent ?
BTS
INFORMATIQUE DE GESTION
EF2 – MATHÉMATIQUES II
CORRIGÉ
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CORRIGÉ DE L’ÉPREUVE FACULTATIVE
-
SUJET NATIONAL
-
SESSION 2001
Question
Correction
Barème
proposé
Exercice I
A)1)
On cherche les solutions qui ne sont jamais nulles sur
[
[
0 ;
+ ∞
:
(
)
(
)
(
)
'
2
2
1
' 2
0
ln
ln 2
1
2
1 .
2
1
y
y
x
y
y
x
y
k
x
y
x
k
+
-
=
=
=
+
=
+
+
(
k
étant une constante réelle quelconque)
2
A)2)
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
'
2ln
1
1
2
1
2
1
et 2
1
'
2
2 2
1 ln
1
2 2
1 ln
1
,
1
1
est bien
une solution particulière de (E).
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
+
=
+
+
+
+
+
+
-
=
+
+
+
-
+
+
=
+
+
2
A)3)
La solution générale de (E) est la somme de la solution générale de l’équation sans second
membre et d’une solution particulière de (E).
La solution générale de (E) est donc donnée par :
(
)
(
)
2
1
ln
1
est une constante réelle quelconque.
y
x
x
k
k
=
+
+
+
2
A)4)a)
2
A)4)b)
0,3
2
3
4
0
0,05715
2
2
6
x
x
x
K
=
+
-
=
.
2
Exercice II
A)1)a)
On trouve
540
244, 95
et
e
e
m
σ
=
=
.
4
A)1)b)
100
et
246,18.
99
e
e
m
m
σ
σ
=
=
×
=
2
A)2)a)
Ecrivons l’intervalle de confiance cherché sous la forme [
a
;
b
].
On a :
1,96
491, 7
et
1,96
588,3
10
10
a
m
b
m
σ
σ
=
-
×
=
=
+
×
=
.
3
A)2)b)
Non. On peut seulement affirmer que dans 95 % des cas,
m
est dans l’intervalle trouvé.
1
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
3
1
1
0
2
3
2
3
3
0
3
2
3
0
ln 1
avec
lim
0.
2
3
On en déduit :
2
, avec
lim
0
2
3
3
2
, avec
lim
0.
2
3
x
x
x
p x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ε
ε
ε
ε
ε
ε
+
=
-
+
+
=
=
-
+ -
+
+
=
=
+
-
+
=
1 44 2 4 43