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Mathématiques II 2003 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

7 pages
Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques II 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2003 sur Bankexam.fr.
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A 2003 Math MP 2
´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2003
´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ DEUXIEME EPREUVE Filie`reMP (Dur´eedele´preuve:4heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.
Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`ere page de la copie : ´ MATHEMATIQUES2-Fili`ereMP.
Cete´nonc´ecomporte6pagesdetexte.
Si,aucoursdele´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d´enonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesquilestamene´`aprendre.
Lobjetduproble`meestl´etudedem´ethodesanalytiques(me´thodesdugra-dient,duLagrangien)pourr´esoudrele´quationline´aireA.x=bu`oAest une n matricesym´etriquepositive,inversible,bnvecteurdonn´edeuRetxun vecteur n n inconnu deRou d’un sous-espace vectorielFdeR.
Danstoutleproble`me,lentiern`l2aseeluratrnientnetuage´uorueire´pus n (n2) ; la base canonique deR´toneeeste1, e2e, ...,n; le produit scalaire de n deux vecteursxetydeR(e´tnotesx|y). Lanorme d’un vecteurxeneots´te x.
Lesmatricesconside´re´essontr´eelles;lespacevectorieldesmatricescarre´es re´ellesdordrenenot´estMn(Rnecilpoitaiuqnua`,lpaqseudaimelts).I matriceMdeMn(Rsup´erieure,)saosiclebaroenN(M) des normes des images n parMdes vecteurs unitaires deRest une norme :
1
N(Msup) =M.x. x=1 Unematricesym´etriqueAest dite positive lorsque, pour tout vecteurxde n R, le produit scalaire des vecteursA.xetxest positif ou nul (A.x|x)0.
Premie`repartie
Lebutdecettepartieestlare´solutiondel´equationA.x=bu`oAest une matricecarr´eedordrensipoueiqinetvetielbisrev,smye´rtbonn´eurdetcevnu n deRetxun vecteur inconnu.
Re´sultatspre´liminaires: SoitMerucera´reeenamrtciquedordsym´etrin. 1.De´montrerquilexisteunplusgrandre´elptenueltr´epetiplusqtels que, n pour tout vecteurxdeR, le produit scalaire (M.x|xre´v)cneleiadrement suivant :
2 2 px ≤(M.x|x)qx. Pr´ecisercesdeuxre´elspetqen fonction des valeurs propres de la matrice M.
2. Montrerque, pour que cette matriceMsoit inversible et positive, il faut et il suffit que toutes ses valeurs propres soient strictement positives.
3.D´emontrerquelanormeN(M) d’une matriceMsyetm´uqirtseeage´a`el la plus grande valeur absolue des valeurs propresλi(1in) de la matrice M:
N(M) =sup|λi|. 1in
´ Etantdonn´eslamatricecarre´e,dordren,itevqieuopisymstr´eAet le vecteur b, soitαtsirtcmeptsotifirictemeunnr´eelstpa´er2tmenorajn(0< α <2n)   k ou`λnest la plus grande valeur propre de la matriceA; soitxla suite kN 0n de´nieparunpremiervecteurxchoisi arbitrairement dansRet par la relation dere´currencesuivante:pourtoutentiernaturelk,   k+1k k x=x+α bA.x .   ´ k Etude de la suitex: kN   k 4.De´montrerquelasuitexest une suite convergente de limite le kN n vecteurzde l’espaceR,iondolutsitnoqeaule´A.x=b.
2
n Soitfnr´eelle,d´enielfanotcoisnadR, par la relation : 1 f(x() =A.x|x)(b|x). 2
Minimum def: 5.Calculpre´paratoire:d´emontrerquelexpressionf(x+u)f(x) se calcule en fonction des expressions (A.u|u),(A.x|u) et (b|u).
6.D´emontrerquelafonctionf:xf(xselleiemdt)daerivesd´part´ees (1kn) : ∂xk ∂f x(x). ∂xk
´ n n Etantdonne´unvecteurxdeR,soitg(x) le vecteur deRdont les coor-n donn´ees,danslabasecanoniquedeRs,noeualxvauesalegt´see´vire´dsedsr partielles de la fonctionfen ce pointx: n ∂f g(x() =x)ek. ∂xk k=1 7. Exprimerce vecteurg(x) au moyen de la matriceAet des vecteursxet b.
n ´ Etantdonn´esdeuxvecteursxetudeR, soitI(x, u) l’expression suivante :
I(x, u) =f(x+u)f(x)(g(x)|u).
8.De´montrerque,pourtoutvecteurxesntcouxtansetedxesi,elino´nd positives ou nullesretstelles que, pour tout vecteuru,I(x, ulea)´vrei relation suivante :
2 2 ru ≤I(x, u)su.
9.D´emontrerque,pourquelafonctionfadmette enzun minimum, il faut et il suffit que le vecteurzv´erielarelationA.z=b.
Recherche du minimum def: Soitαnuee´rmoclsirpctemstrintreentee02tn(0< α <2n). n ´ 10.Etantdonn´eunvecteurxdeRespronsideneexllrengise,te´dimre suivante
f(xα g(x))f(x).
3
11.Proposer,`apartirdecere´sultat,unem´ethodepourconstruireunesuite   k de vecteursyqui converge vers le vecteurzen lequel la fonctionfatteint kN sonminimum;lajusticationdelaconvergencenestpasdemande´e.
Seconde partie
Le but de cette partie est de rechercher un vecteurxtnanetrappa-`aunsous n espace vectorielFdeRqiunoeq´tiuaerv´eliA.x=bu`oAest une matrice carre´edordrenecaptceveirolsiqtr´eymisiteuopnievevtele.Lrsibs-esesouFde n Resuptss´poeteˆerelonayduuenamtriceBat`appartenanMn(R) ; ce noyau n n estsuppose´die´rentdetoutlespaceR(kerB=R).
Le´quivalence,´etabliedanslapremi`erepartie,entredunepartr´esoudre l´equationA.x=bet d’autre part chercher le vecteurzrendant minimum la n fonctionfe´ndriesuRpar la relation suivante
1 f(x) =(A.x|x)(b|x), 2 conduit`aseposerleproble`mesuivant:
SoitBaecirappaneta`tnneutrmaMn(R) dont le noyauFid´etsdterene n R; rechercher un vecteurxpanaa`nettrapFrendant minimum la restriction de la fonctionfau sous-espace vectorielF.
Existence du minimum de la fonctionfdansF: 12.D´emontrerquelafonctionfe:pourtoutsspode`eprlairpo´te´iusetnav r´eelc,ielixtsuerne´leρ,tel que, pour tout vecteurxdeFup´ermesrerieuoned oue´galea`ρ(x ≥ρe´l)el,ref(xegalrou´rieuup´esest)a`c(f(x)c).
13.End´eduireque,siyest un point deFr´eelexisteun,lirtel que pour tout vecteurxdeF`eaieurp´eregaleou´orensumedr(x ≥r),f(x)´euptsesreuri oue´gala`f(y).
14.De´montrer`alaidedur´esultatpr´ec´edentquilexisteaumoinsunvecteur xdu sous-espace vectorielFen lequel la restriction de la fonctionfaces`-suo espaceFatteint un minimum.
15.De´montrerquilexisteunseulvecteurxen lequel la fonctionfatteint son minimum dansF, en admettant que la fonctionfstenvcoe;exseca`-trid-e n n : pourtout couple (x, y)R×Rttsetrouel´edveceetruλetratnana`ppa l’intervalle ouvert ]0,1[,les valeurs prises par la fonctionfionneire´vtaleralt suivante :
f(λ x+ (1λ)y)λ f(x) + (1λ)f(y), ou`lin´egalite´eststrictesietseulementsilesvecteursxety.stnere´idtnos
Propri´ete´sdupointx:
4