Mathématiques II 2004 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques II 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
• HEC

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES MATH II ECONOMIQUE

Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunesuiteinfiniedelancersd’unepi`ecee´quilibre´e,c’est-a`-direpour laquelle,`achaquelancer,lesapparitionsde✭pile✮et de✭face✮snoles.obabuiprt´eq Onadmetquel’exp´erienceestmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A,P). Pour tout entier naturel non nulnsi´end,oarepgnR n ne´ve´’ltneme✭pile apparaˆıt au lancer de rangn✮et parS n ne´vnemete´’l✭arppıtaˆfeaacedargnuaalcnren✮

PartieI:Unr´esultatutile ∗ Onconside`reunevariableale´atoireXe´nfidr(Ωiesu,A,P), prenant ses valeurs dansNet, pour tout entier naturel non nuln, on pose :a n =P([X=n]). +∞ X 1.a) Justifierque la suite (a n ) n>1 tuessuneeditmoneserbee´ropsl´vreunslsfuoisittifiana n = 1. n=1 b)Montrerque,pourtoutnombrer´eelxantna`’lappraetle[0interval,etedgemr´saleire1],n´´ealer n a n xest convergente. +∞ X n 2.pengise´ndOrafreavi’tn0ll[end´ectiosurlfinienofal,1] par :∀x∈[0,1], f(x) =a n x. n=1 Onsupposequecettefonctionestde´rivableaupoint1;elleve´rifiedonc: f(1)−f(x) 0 lim =f(1) x→1 1−x x<1  ! +∞n−1 X X f(1)−f(x) k ´ a)Etablirpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,=t´e:’le´agil[1a n x. 1−x n=1 k=0 f(1)−f(x) b)Ende´duirequelafonctionx7→est croissante sur [0,uttourpofiee´irllveuqe’[1te 1−x f(1)−f(x) 0 nombrere´elxde l’intervalle [0,0:s1l[senie´galit´essuivante6 6f(1). 1−x N X 0 c) Montrerque, pour tout entier naturelNnon nul, on a :06na n 6f(1). n=1 Ende´duirequelas´eriedetermeg´ene´ralna n est convergente.

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` d)Al’aidedesre´sultatsdesquestiona)etc),justifierpourtoutnombrer´eelxde l’intervalle [0,1[, +∞ X f(1)−f(x) 0 lesine´galit´essuivantes:06 6na n 6f(1) 1−x n=1 e)Montrerquelavariableal´eatoireXdenoarcnpse´nueeetdmapar:n´ee 0 E(X) =f(1) PartieII:Loidutempsd’attentedelapremi`ereconfiguration✭pile, pile, face✮ SoitYede´de´ce´raceptunfraˆıappaofsie`ererimlrpaudgncnal`oreuopud´reigesntnaraleavirbaellae´taiola deuxpilessicetteconfigurationapparaˆıt,etprenantlavaleur0sicelle-cin’apparaıˆtjamais. Parexemple,silesre´sultatsdespremierslancerssont(face,face,pile,face,pile,face,pile,pile,face,...), lavariableal´eatoireYprend la valeur9. On posec 1 =c 2 = 0 et, pour tout entiernueore´irspu3:al`au´egc n =P([Y=n]). n [ Pour tout entiern,3noonet´ugelaa`ri´eroeuupsB n enementl’´ev´R n−2 ∩R n−1 ∩S n etU n emtnl´’vee´enB i . i=3 1.On poseu 1 =u 2 = 0, et pour tout entiern:3laa`´ugeeuro´erisupu n =P(U n ). Montrer que la suite (u n ) n>1 est monotone et convergente. 2.a) Calculer,pour tout entier naturelnilitobabl’´e´edegelaor´ualrpa`,3s´eupeurinemene´vtB n . b)Ve´rifierque,pourtoutentiernaturelnuoruage´´puseire´ev´eneml`a3,lesnestB n , B n+1 etB n+2 sontdeuxa`deuxincompatibles. c)End´eduirelesvaleursdesnombresu 3 , u 4 etu 5 . 3.Soitnun entiernor´ugelaa`.5s´eupeuri a)Justifierl’´egalite´dese´v´enementsU n ∩B n+1 etU n−2 ∩B n+1 rpe´telrueicesbabirproe.lit´ b)Exprimerl’´ev´enementU n+1 notcefnstenemenv´´eesndioU n etB n+1 e´dne;:usvinaetegalit´eduirel’´ 1 u n+1 =u n + (1−u n−2 ). 8 1 1 c)Ve´rifierlese´galite´ssuivantesu 3 =u 2 + (1−u 1 ) etu 4 =u 3 + (1−u 2 ). 8 8 d)De´terminerlalimitedelasuite(u n ) n>1 env´enemt[babotiliede´e´’letend´eduirelaprY= 0]. 4.Pour tout entier naturel non nuln, on pose :v n = 1−u n . a)Pr´eciserlesnombresv 1 , v 2 , v 3 , v 4 . b) Exprimer,pour tout entier natureln,3a`sor´ugelapue´iruev n+1 en fonction dev n et dev n−2 . N X 7 1 c)Ende´duirepourtoutentierNet:p´ersurueie´uo`lagl,1aeg’´italsu´eaniv−v N+3 =v k . 8 8 k=1 d)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralv n est convergente et calculer sa somme. 5.Soitgethellavret0[lseitnoofcnfiniesd´el’inssur,1] par : +∞+∞ X X n n ∀x∈[0,1], g(x) =c n xeth(x) =v n x n=1n=1 a) Soitnuprsri´eneuienta`laxE.4oruege´uenem´ev´erl’primne[tY=nntmene´eevs´deoncnitneof]s U n−1 etU n (U n−1 enemontcaitrdere´gdisetnane´’lne´vU n−1 l’´egalit´e:.)nE´ddeiuerc n =v n−1 −v n . b)Validerl’´egalite´c n =v n−1 −v n dnausa`olscent´eges2ou3al`a. ´ c)Etablirpourtoutnombrere´elx0[aetvrlaelnt`al’inppartena,1,]’le:t´liga´eg(x) = (x−1)h(x) +x. g(x)−g(1) d)Exprimerpourtoutnombrere´elxra`a’eltaanptpnvrlanietle[0,1[, le quotienten x−1 fonction deh(x). e) Justifierla croissance de la fonctionhet, pour tout entier naturelNer´eombroutnlettnlneuon N X k xde l’intervalle [0,te:eiblouad,l1]naviuse´tilage´nv k x6h(x)6h(1). k=1 Ende´duirelarelationsuivante:limh(x) =h(1). x→1 x<1 2/4