CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction 0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.
Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢-cients aléatoires
On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX0etX1dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ!dindéterminéey, déni par : 2 Q!(y) =y+X1(!)y+X0(!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ!.
1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX0etX1suivent la même loi que2Z1.
(a) Déterminerla loi deX0.
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(b) Déterminerla loi deMet calculer son espéranceE(M). Dans les questions suivantes, on suppose queX0etX1suivent une même loi exponentielle de paramètre 1=2. 2 On pose :Y=4X ; Y=X ; Y=Y+Y, et on noteFF ;, les fonctions de répartition de 0 01 11 0Y0FY, etY 1 Y0,Y1etY, respectivement. 3. Montrerque lon a, pour tout x réel p x=2 1esix >0 1six>0 F(x) = Y1etFY(x) =x=8 0 0six60esix <0 En déduire lexpression ddeYet dune densitéf Y1deY1. une densitéfY00 p 1 1t 4. Soitgla fonction dénie surRparg(t) =p exp+t, oùexpdésigne la fonction exponen-+ t2 4 tielle. +1 Z (a) Etablirla convergence de lintégrale impropreg(t)dt. 0 (b) Endéduire quune densitéfYde la variable aléatoireYest donnée, pour toutxréel, par : 8 +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix <0 > <32 0 fY(x) = +1 Z 1 x=8 e g(t)dtsix>0 > :32 x 5. Ondésigne parla fonction de répartition dune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite. +1 Z p (a) Justierla validité du changement de variableu=tdans lintégrale impropreg(t)dt. 0 +1+1 Z Z p2 v =2 (b) Endéduire queg(t)dt= 4e edv, et donner, pour tout réelxnégatif, lexpression defY(x) 0 1 en fonction de. p p 2e x x=8 (c) Montrerque, pour tout réelxpositif, on a :fY(x) =e11 +. 8 2 (d) Déterminerla loi deMet son espéranceE(M)(on fera intervenir le nombre(1).
Partie II : Suites de Sturm
n n1 Soitnun entier supérieur ou égal à1, et soitP(X) =X+an1X+ +a1X+a0un polynôme normalisé (an= 1On suppose que toutes les racines réelles de) donné, à coe¢ cients réels.Psont simples. Lobjectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP appartenant à un intervalle donné[a; b]. 0 On associe au polynômePla suite(Ri)i>0de polynômes dénie de la manière suivante :R0=P; R1=P, et pour tout entierjtel queRj+16= 0, le polynômeRj+2est lopposé du reste de la division euclidienne deRjpar R. SiR= 0, on poseR= 0. j+1j+1j+2
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1. Montrerquil existe un entierk(k>2), tel queRk= 0. OnnoteRm(m>1), le dernier polynôme non nul de la suite(Ri)i>0. Dans toute cette partie, on pose : 8 R=S RR 0 11 2 R=S >1 2R2R3 < . Rm2=Sm1Rm1Rm > : R=S R m1m m 2. (a)Montrer que sil existe un entierjde[0; m1]]et un réelx0tels queRj(x0) =Rj+1(x0) = 0, alors 0 P(x0) =P(x0) = 0. (b) Endéduire que le polynômeRmnadmet pas de racine réelle. (c) Soitjun entier de[1; m1]]que si. Montrerx0est une racine réelle deRj, alorsRj1(x0)Rj+1(x0)< 0. 3. Soits= (s1; s2; : : : ; st)unet-liste (t>2On ôte de) de nombres réels non tous nuls.stous les éléments nuls en préservant lordre, et on obtient ainsi unep-liste (p6t)sb= (sb1; sb2; : : : ; sbp). On appellenombre de changements de signe des, le nombre déléments de lensembleEdéni par : E=fi2[1; p1]]; =sbisid+1<0g: Sip= 1, on dit que le nombre de changements de signe est nul. Par exemple, sis= (0;3;0;5;3;2), on a :sb= (3;5;3;2), et le nombre de changements de signe est égal à2. Pourtout réelx, on note respectivementC1(x); C2(x)etC(x), le nombre de change-ments de signe du couple(R0(x); R1(x)), de lam-liste(R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)), et de la(m+ 1)-liste (R0(x); R1(x); R2(x); : : : ; Rm(x)). On désigne parx0une racine réelle du polynômeP. (a) En étudiant les variations dePau voisinage dex0, montrer quil existe un réel1>0tel que, si h2]0; [, on a :C(x+h)C(xh) = 1. 1 10 10 (b) Àlaide de la question2.c, montrer quil existe un réel2>0tel que, sih2]0; 2[, on a :C2(x0+ h) =C2(x0h)soit,(on distinguera les deux éventualités :x0nest racine daucun des polynômes R1; R2; : : : ; Rm, soit, il existe un entierjde[1; m1]]tel queRj(x0) = 0). (c) Déduiredes deux questions précédentes que pour= min(1; 2)eth2]0; [, on aC(x0+h)C(x0h) = 1, et que siaetbsont deux réels qui ne sont pas racines dePet qui vérienta < b, alors le nombre de racines réelles dePdans[a; b]est égal àC(b)C(a).
4. (a)Soitune racine (réelle ou complexe) deP. n1 X n n1 Montrer que sijj>1, alorsjj6jjj akj. k=0 n1 X En déduire, pour toute racinedeP, linégalité :jj61 +jkj. k=0 (b) Ecrireen français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles deP. 5. Ondénit en Pascal const n = ..., Type tab=array[1..n] of real; Var T : tab ; Ecrire une fonction Pascal dont len-tête estFunction nbchgs(T:tab):integerqui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels(T[1] , T[2], ..., T[n] ). On tiendra compte du fait que le tableauTpeut contenir des éléments nuls.La fonctionnbchgsnutilisera que le tableauTOn expliquera en français la démarche utilisée.et aucun autre tableau auxiliaire.
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Partie III : Un majorant du nombre de racines réelles deP m m1? SoitVun polynôme deRtel queV(X) =vmX+vm1X+ +v1X+v0. OnnoteVle polynôme réciproque m m1 du polynômeV, déni par :V(X) =voX+v1X+ +vm1X+vm. Soitnun entier deNconsidère lapplication. OnTqui, à tout polynômePde degrén, normalisé, à coe¢ cients n n10 réels,P(X) =X+an1X+ +a1X+a0, associe le polynômeT(P)déni parT(P)(X) =XP(X). On désigne parN0(P)le nombre de racines non nulles dePdans lintervalle[1;1]comptées avec leurs ordres de multiplicité, parN1(P)le nombre de racines dePdans] 1;1][[1;+1[comptées avec leurs ordres de multiplicité, et parN(P)le nombre de racines réelles dePcomptées avec leurs ordres de multiplicité. k 1. (a)Etablir, à laide du théorème de Rolle, linégalité :N1(P)6N1T(P2) +. k (b) PourtoutkdeN, on poseT=TT T(kfois). k Montrer queN1(P)6N1T(P) +2k. 1 ? n 2. (a)Montrer que pour tout réelxnon nul, on aP(x) =x P. x (b) MontrerqueN1(P) =N0(P) 3. Pourtout réelxet pour tout entier naturelknon nul, on pose : k kk 1 2n1 2n1 Qk(x) = 1 +an11x+an21x+ +a11x n nn ? k k Montrer queT(P) =n Qk. y 4. (a)Etablir, pour tout réelyde[0;1], linégalité :(1y)e61. (b) On admet la propriété suivante :soitretdeux réels tels que0< r < . OnnoteDp=fz2 C=jzj6g. SoitUun polynôme deRtel queU(0)6= 0. Soitun réel strictement positif tel que pour toutzde Dp,jU(z)j6. Alors,le nombre de racines réelles deUcomptées avec leurs ordres de multiplicité, dans lintervalle[r; r], est majoré par le réel : 1 ln: jU(0)j ln r k=n En appliquant cette propriété au polynômeQkavecr= 1et=e, (k2N), déduire des questions n1 X n précédentes que pour toutkdeN, on a :N1(P)62k+ ln(L(P)), avecL(P) = 1 +jaij: k i=0 (c) Soitla fonction dénie surRpar :(x) = 2x+, oùest un paramètre réel positif. + x i. Etudierles variations de. pp ii. Montrerque(=2 + 1)62 + 22. p iii. Endéduire linégalité :N1(P)622 + 2nln (L(P)). (d) Ensupposanta06= 0, on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que : s L(P) N0(P)622 + 2nln ja0j Conclure en donnant un majorant deN(P), fonction des coe¢ cientsa0; a1; : : : ;an1.
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Partie IV : Nombre de racines réelles dun polynôme de degréncientsà coe¢ aléatoires
Pournentier supérieur ou égal à2, on considère dans cette partie, les variables aléatoires réellesX1; X2; :::; Xn1 dénies sur le même espace probabilisé(;A; P), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre, strictement positif. Pour tout!de, on considère le polynômeQ!, dindéterminéey, déni par :
n n1 Q!(y) =y+Xn1y+ +X1(!)y+ 1
SoitMn(!)le nombre de racines réelles deQ!admet que lapplication. OnMn:!7!Mn(!)est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).
n1 X 1. Ondénit la variable aléatoireLnpar :Ln= 2 +Xi. SoitZn=Ln2la loi de. RappelerZn. i=1 2. laidedes résultats de la partieIII, montrer que pour tout!de, on a : pp Mn(!)64 + 42nln (Zn(!) + 2)
2 3. Soithune fonction de classeC, concave surR+. SoitWune variable aléatoire dénie sur(;A; P), à valeurs dansNsuppose lexistence des espérances. OnE(W)etE(h(W)). 0 (a) Montrerque, pour tout couple(x0; x)de réels positifs, on a :h(x)6h(x0)(xx0) +h(x0). (b) Enprenantx0=E(W), établir linégalité suivante :E((h(W))6h(E(W)). p 4. (a)Montrer que la fonction'dénie surR+par'(xln() =x+ 2)est concave surR+. k p a (b) Soitaun réel positif.Montrer que la série de terme généralln(k+ 2)est convergente. k! 5. (a)Prouver lexistence de lespéranceE(Mn). (b) Montrerque, pour tout réelstrictement supérieur à1=2, on a : E(Mn) lim =0 n n!+1