MATHÉMATIQUES II Filière PC

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière PC Concours Centrale-Supélec 1998 Notations Si est une matrice de , désigne la trace de . On pourra utiliser, sans dé- monstration, le résultat suivant : si est une matrice de et une matrice de , on a . Le problème porte sur des matrices carrées d'ordre à coefficients réels ou complexes. L'ensemble de ces matrices sera noté , où désignera selon le cas, le corps ou le corps . On notera la matrice unité : , et on désignera par B la base canonique de , constituée des matrices suivantes : , , , . On notera D l'ensemble des matrices scalaires, c'est-à-dire celles de la forme , avec appartenant à . On notera “la matrice complémentaire” de la matrice , qui est par définition la transposée de la matrice des cofacteurs de . Les espaces vectoriels seront identifiés aux espaces de matrices colonnes ; ces espaces seront munis de leur structure euclidienne canonique pour laquelle le produit scalaire des vecteurs et est donné par ; la norme associée sera notée . Lorsque le corps de base est , on notera A l'ensemble des matrices antisymétriques, S celui des matrices symétriques, et O celui des matrices orthogonales. On désignera enfin par l'ensemble des matrices symétriques positives, c'est-à-dire l'ensemble des matrices de S qui vérifient quel que soit dans .

• produit scalaire


• expression géné- rale du produit


• isomorphisme d'espaces vectoriels


• corps de base


• tr ab


• norme associée

Sujets

• Produit scalaire

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2