MATHÉMATIQUES II Filière PSI
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Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière PSI Concours Centrale-Supélec 1998 Exemples de suites récurrentes de polygones du plan Notations, valables pour l'ensemble du sujet : • Pour tout , on note . • désigne un entier naturel supérieur ou égal à . • est l'ensemble des matrices à coefficients complexes possédant li- gnes et colonnes. • Pour toute matrice de , on note la transposée de . • Si on note : . Par exemple, lorsque , . Définition : on dit qu'un endomorphisme de est canoniquement associé à une matrice de si et seulement si est la matrice de dans la base canonique de . Partie I - Étude des matrices compagnes I.A - Cas général I.A.1) Soit . On note l'endomorphisme canoniquement associé à . Calculer le déterminant de . Déterminer le rang, l'image et le noyau de . q IR˛ ei q q i qsin+cos= k 3 Mk IC( ) k k M Mk IC( ) M t M a0,… ak 1–,( ) ICk˛ M a0,… ak 1–,( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 a0 a1 ak 2– ak 1– Mk IC( )˛= k 3= M a0 a1 a2,,( ) 0 1 0 0 0 1 a0 a1 a2 = u ICk M Mk IC( ) M u ICk a0,… ak 1–,( )
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MATHÉMATIQUES II Filière PSI Concours Centrale-Supélec 1998 Exemples de suites récurrentes de polygones du plan Notations, valables pour l'ensemble du sujet : • Pour tout , on note . • désigne un entier naturel supérieur ou égal à . • est l'ensemble des matrices à coefficients complexes possédant li- gnes et colonnes. • Pour toute matrice de , on note la transposée de . • Si on note : . Par exemple, lorsque , . Définition : on dit qu'un endomorphisme de est canoniquement associé à une matrice de si et seulement si est la matrice de dans la base canonique de . Partie I - Étude des matrices compagnes I.A - Cas général I.A.1) Soit . On note l'endomorphisme canoniquement associé à . Calculer le déterminant de . Déterminer le rang, l'image et le noyau de . q IR˛ ei q q i qsin+cos= k 3 Mk IC( ) k k M Mk IC( ) M t M a0,… ak 1–,( ) ICk˛ M a0,… ak 1–,( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 a0 a1 ak 2– ak 1– Mk IC( )˛= k 3= M a0 a1 a2,,( ) 0 1 0 0 0 1 a0 a1 a2 = u ICk M Mk IC( ) M u ICk a0,… ak 1–,( )
- polygone
- a0 …
- polygone d'ordre
- barycentre des points affectés des coefficients
- mt a0
- coefficients complexes possédant
MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-
phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel
Dans tout le problème,
• les espaces vectoriels
et
sont munis de leur produit scalaire
canonique et orientés par leur base canonique,
• on désigne par
ou
le produit scalaire de deux vecteurs
d’un espace vectoriel euclidien, par
la norme associée,
• on désigne par
le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel
euclidien orienté de dimension 3.
Les vecteurs dans les espaces vectoriels
sont notés en colonnes, mais on leur
préférera la notation
, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande
taille.
Partie I - Étude dans
euclidien orienté de dimension 3
On considère dans cette partie
espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3 et la base canonique
orthonormale directe. Si
est dans
on définit
, endomorphisme de
, par sa restriction à
:
I.A -
Dans cette question on considère les endomorphismes
, de
matrices respectives
et
dans la base
:
Déterminer
et
, matrices respectives dans la base
de
et
.
IR
3
IR
4
,
IR
6
x
y
,
〈
〉
x
y
⋅
x
y
,
.
∧
IR
n
…
(
)
t
E
E
IR
3
=
B
e
1
e
2
,
e
3
(
,
)
=
u
L
E
(
)
u
~
E
B
u
~
e
1
(
)
u
e
2
(
)
u
e
3
(
)
∧
=
u
e
2
(
)
~
u
e
3
(
)
u
e
1
(
)
∧
=
u
~
e
3
(
)
u
e
1
(
)
u
e
2
(
)
∧
=
u
1
u
2
,
L
E
(
)
∈
U
1
U
2
B
U
1
0
0
1
–
1
0
3
–
0
1
3
–
=
U
2
0
1
1
0
1
1
–
0
1
1
=
U
~
1
U
~
2
B
u
~
1
u
~
2
