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MATHÉMATIQUES II Filière TSI

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Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière TSI Concours Centrale-Supélec 1999 Partie I - Dans cette partie, désigne un entier naturel impair , supérieur ou égal à 3. L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique, et sa base canonique est notée . On appelle la matrice carrée d'ordre définie par : avec On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . I.A - Calculer et . I.B - Pour , déterminer . En déduire , pour entier impair supérieur ou égal à 3. I.C - On désigne par et le noyau et l'image de l'endomorphisme . Monter que : I.D - En déduire que la matrice est diagonalisable. Expliciter une base de vecteurs propres de ainsi qu'une matrice diagonale semblable à . Montrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux. I.E - Dans cette question, est un espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un repère orthonormal ; étant un point de , on note ses coordonnées dans ce repère. Si est un réel fixé, on note la surface d'équation . I.E.1) Montrer qu'il existe un repère orthonormal dans lequel l'équation de est : Discuter la nature de la surface , en distinguant les cas : , , .

  • surface d'équation

  • e1˛ v1

  • entier

  • ic5 a0

  • e2 …

  • b2 b2


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Langue Français

Exrait

MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière PC
Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-
phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel
Dans tout le problème,
• les espaces vectoriels
et
sont munis de leur produit scalaire
canonique et orientés par leur base canonique,
• on désigne par
ou
le produit scalaire de deux vecteurs
d’un espace vectoriel euclidien, par
la norme associée,
• on désigne par
le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel
euclidien orienté de dimension 3.
Les vecteurs dans les espaces vectoriels
sont notés en colonnes, mais on leur
préférera la notation
, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande
taille.
Partie I - Étude dans
euclidien orienté de dimension 3
On considère dans cette partie
espace vectoriel euclidien orienté de
dimension 3 et la base canonique
orthonormale directe. Si
est dans
on définit
, endomorphisme de
, par sa restriction à
:
I.A -
Dans cette question on considère les endomorphismes
, de
matrices respectives
et
dans la base
:
Déterminer
et
, matrices respectives dans la base
de
et
.
IR
3
IR
4
,
IR
6
x
y
,
x
y
x
y
,
.
IR
n
(
)
t
E
E
IR
3
=
B
e
1
e
2
,
e
3
(
,
)
=
u
L
E
(
)
u
~
E
B
u
~
e
1
(
)
u
e
2
(
)
u
e
3
(
)
=
u
e
2
(
)
~
u
e
3
(
)
u
e
1
(
)
=
u
~
e
3
(
)
u
e
1
(
)
u
e
2
(
)
=
u
1
u
2
,
L
E
(
)
U
1
U
2
B
U
1
0
0
1
1
0
3
0
1
3
=
U
2
0
1
1
0
1
1
0
1
1
=
U
~
1
U
~
2
B
u
~
1
u
~
2