Mathématiques III 2000 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques III 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2000
• ESSEC IRENE

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 302
• Langue: Français

Extrait

ESSEC CONCOURS D’ADMISSION 2000 Option´economique Mathe´matiquesIII Mardi9Mai2000de8ha`12h ——————————————

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnementsentreront pourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies.Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossible lesr´esultatsdeleurscalculs.Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetout mate´riel´electroniqueestinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE 1 (Fonction de production de Cobb-Douglas) UneentrepriseproduitdesbiensBdontlafabricationne´cessite: •ncutaerovniemuleh’dserusegi,l´dvaiaedrtarn´epxdans la suite (avecx >0). •cnu´ed’meluvointaerstd,e´isuqpimenegn´eparydans la suite (avecy >0). Onsupposequelaquantit´edebiensBproduitsavecunvolumed’heuresdetravail´egala`xet un volume d’e´quipementse´gala`yest : a b f(x, y) =x y o`ua,bsegientnedxuonbmd´0euqsletslee´rser< a <1 et 0< b <1. Onsupposeenfinlecouˆthorairedutravaile´gala`u´sgelaa`iuepemtndereeqs´unutaiitlteˆocevde sorte que le coˆutdelaproductiona`volumesdetravailetd’´equipementsxetye´nntses:od g(x, y) =ux+vy. 1.Rendementd’e´chellea+b. Onmultiplieparunemeˆmeconstanteλ >0 le volumexdes heures de travail et le volumeydes ´equipements.Parquelfacteurestmultipli´eelaquantite´produite? Commentinterpre´ter´economiquementlapositiondunombrea+brrapporta`?1pa ´ 2. Etuded’un cas particulier. On suppose dans cette question (et seulement dans celle-ci) quea=b= 1/2 etu= 4,v= 1. (a)V´erifierquel’ensembledespoints(x, y) avecx >0,y >0 tels quef(x, yes=2)rbouactlqeaude´’itno y= 4/x. (b)D´eterminerunee´quationdelatangentea`lacourbed’´equationy= 4/xau point d’abscisse 1. (c)Construiresurunemˆemefigure(unite´2cm)lesensemblesdespoints(x, y) tels que : •x >0,y >0 etf(x, y) = 2. •x >0,y >0 etg(x, y) = 8. •x >0,y >0 etg(x, y) = 10. De´terminerlespointsd’intersectiondupremierdecesensemblesaveclesdeuxsuivantsetdonner uneinterpre´tationdecespointsentermesdeproductionetdecouˆtdeproduction. (d)R´epondreauxdeuxquestionssuivantesenjustifiantgraphiquementvotreraisonnement: •Pourroduunepmilaleuelestˆucointmoitcge´n`elaq,2aKenvisageable ? •aluqPnoauirtu´ntcpoeˆourtu´degal`a8,quelleestemitimaxealQenvisageable ?

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3.Optimisationdelaquantite´produite`aniveaudecouˆtdonn´e. On´etudiedanscettequestionlamaximisationdelaquantite´produiteQ=f(x, y) en supposant que le coˆutdeproductionK=g(x, ysedt)e.n´on Autrementdit,oncherchea`maximiserQ=f(x, youslacontraintedˆocetus)K=g(x, y). (a)Montrerqueceproble`me´equivaut`amaximiserlafonctiondelavariablexniefid´:arep   K−ux F(x) =f x,avec 0< x < K/u. v 0 0 (b) CalculerF(x) et montrer queF(x) est du signe deKa−(a+b)ux. (c)Ende´duirelesvariationsdelafonctionFet les valeurs dexetyqui permettent d’optimiser la quantite´produiteQ=f(x, yartnocalocedetnitˆu)sousg(x, y) =K. (d)Ende´duirequelaquantit´eproduiteoptimaleQtuoˆecedntaitronacuolsunseboetteerantˆpouv a+b g(x, y) =Kest de la formeQ=cKo`ucnotsnaetetsnucedentepd´daena,b,u,vque l’on explicitera. Onpre´ciseralaformeparticulie`redure´sultatobtenulorsquea+b= 1. 4.Optimisationducoˆut`aniveaudeproductiondonne´. On´etudiedanscettequestionlaminimisationducoˆutdeproductionK=g(x, y) en supposant que la quantit´ea`produireQ=g(x, yn´ee.)estdon Autrementdit,oncherchea`minimiserK=g(x, y) sous la contrainte de productionQ=f(x, y). (a)Montrerqueceprobl`eme´equivaut`aminimiserlafonctiondelavariablexfieinpera:d´ 1/b   Q G(x) =g x,avecx >0. a/b x 0 (b)D´eterminerG(x,e)´endirduavirlesesnedtaoinctilafoonGet les valeurs dexetyqui permettent d’optimiserlecoˆutdeproductionK=g(x, y) sous la contrainteQ=f(x, y). (c)End´eduirequelecoˆutoptimalKlaussonuteobreetdorpedetniartnocintacˆutopnvouQ=f(x, y) 1/(a+b) est de la formeK=dQou`donstanted´ependaedtnetsnucea,b,u,vque l’on explicitera. Onpre´ciseralaformeparticuli`eredure´sultatobtenulorsquea+b= 1. (d)Comparera`l’expressiondeQen fonction deK.lureConc.3noitseuqalednfila`aueenbto

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