Mathématiques III 2001 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

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Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques III 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 378
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION 2001

Option èconomique

MATHÈMATIQUES III Mercredi 2 mai 2001 de 8h 00 À 12h 00

La prsentation, la lisibilit, l’orthographe, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’apprciation des copies. Les candidats sont invits À encadrer dans la mesure du possible les rsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document ; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matriel lectronique est inter dite. Seule l’utilisation d’une rgle gradue est autorise. EXERCICE 1 (Ètude d’une suite de nombres rels) On tudie dans cet exercice la suite (S n ) dfinie pourn≥1 par : n X 1 11 1 S n =1+ + +∙ ∙ ∙+c’estÀdireS n =. 2 2 4 9 n k k=1 A cet effet, on introduit pour tout nombre entierk≥0 les deux intgrales suivantes : Z Z π π 2 2 2k2 2k I k =cos (t)dt;J k =tcos (t)dt. 0 0 1. Convergencede la suite (J k /I k ). (a) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre relttel que 0≤t≤π/2 : π t≤sin(t). 2 (b) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk≥0 : 2 π 0≤J k ≤ ( I k −I k+1 ) . 4 0 (c) ExprimerI k+1 en fonction deI k en intgrant par parties l’intgraleI k+1 (on pourra poseru(t)=cos(t) et 2k+1 v(t)=cos (t) dans l’intgration par parties). (d) Dduiredes rsultats prcdents queJ k /I k tend vers 0 quandktend vers+∞. 2. Convergenceet limite de la suite (S n ). (a) ExprimerI k en fonction deJ k etJ k−1 en intgrant deux fois par parties l’intgraleI k (k≥1). (b) Endduire la relation suivante pourk≥1 : J k−1 J k 1 −=. 2 I k−1 I k 2k (c) CalculerJ 0 etI 0 , puis dterminer la limiteSde la suite (S n ).

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(d) Ètablirl’ingalit suivante pour tout nombre entierk≥2 : 1 11 11 − ≤≤ −. 2 k k+1k k−1k En dduire un encadrement deS n+p −S n pourn≥1 etp≥1, puis deS−S n , et montrer que : 1 1 0≤S n −S+≤. 2 n n 1 1 Autrement dit, S n +constitue une valeur approche de SÀ prs. 2 n n −6 (e) Ècrireun programme en PASCAL calculant et affichant une valeur approche du nombreSÀ 10prs. EXERCICE 2 (Algbre linaire et tude d’une marche alatoire) Cet exercice a pour but l’tude d’une marche alatoire sur les sommets d’un triangle, ce qui fait l’objet de la partie II. Dans la partie I, on aborde des questions prliminaires d’algbre linaire. Partie I On associe À tout triplet (x,y,z) de nombres rels la matriceM(x,y,z) dfinie par :   x y z M(x,y,z)= z x y .     y z x La matriceM(1,0,0) n’est autre que la matrice identitI 3 et la matriceM(0,1,0) est noteJ. 1. L’espacevectorielEdes matricesM(x,y,z). 2 3 (a) Calculerles matricesJetJ. 3 (b) Ètablirque l’ensembleEdes matrices de la formeM(x,y,z) oÙ (x,y,z) dcritRconstitue un sousespace vectoriel de l’espaceM 3 (R) des matrices carres d’ordre 3. 2 (c) Ètablirque (I 3 ,J,J) forme une base deE. 2. Matricesinversibles de l’espace vectorielE. 0 0 0 (a) Calculerle produitM(x,y,z)×M(x,y,z) et montrer que celuici est lment deE. 0 0 0 Les matricesM(x,y,z) etM(x,y,z) commutentelles ? (b) Endduire l’galit suivante : h i 1 2 22 22 2 M(x,y,z)×M(x−yz,z−xy,y−zx)= ( x+y+z ) ( x−y)+(y−z)+(z−x)I 3 . 2 (c) Ètablirqu’une condition suffisante pour queM(x,y,z) soit inversible est quex,y,zsoient tels quex+y+z,0 et pas tous gaux. Quelle est alors la matrice inverse deM(x,y,z) ? (d) Ètablirenfin que cette condition suffisante d’inversibilit est galement ncessaire. 3. Èlmentspropres des matricesM(x,y,z) (a) Ètablirqu’un nombre relλest valeur propre deM(x,y,z) si et seulement siM(x−λ,y,z) n’est pas inversible. (b) Montrerquex+y+zest valeur propre deM(x,y,z) et prciser le sousespace propre associ. (c) Onsuppose ici quey,z. Montrer queM(x,y,z) n’a pas d’autre valeur propre. La matriceM(x,y,z) estelle diagonalisable ? (d) Onsuppose ici quey=z. Montrer sans calcul queM(x,y,y) est diagonalisable, et prciser quelles sont ses valeurs propres. 4. Diagonalisationdes matricesM(x,y,y). (a) Calculerles produits matriciels suivants :     1+1+1 M(x,y,y ) 1 ;M(x,y,y) −1 ; M(x,y,y ) 0 .        1 0−1

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−1 (b) Dterminerdeux matricesPetPinverses l’une de l’autre telles que :   x+2y0 0 −1 P M(x,y,y)P= 0x−y0 .     0 0x−y (c) Endduire la relation suivante pour tout nombre entier natureln:   1 1 n n n M(x,y,y)=(x+2y)M(1,1,1)+(x−y)M(2,−1,−1). 3 3 Partie II On dsigne dans toute cette partie parpun nombre rel tel que 0<p<1/2 et on considre la marche alatoire d’un point Ssur les sommets d’un triangleABC. A l’instant initialt=0, le pointSest enA, et il se dplace ensuite selon les rgles suivantes : •SiSest À l’instantnau sommetAdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetBavec la probabilitp, au sommetC avec la probabilitp, ou encore au sommetAavec la probabilit 1−2p. •SiSest À l’instantnau sommetBdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetCavec la probabilitp, au sommetA avec la probabilitp, ou encore au sommetBavec la probabilit 1−2p. •SiSest À l’instantnau sommetCdu triangle : il est À l’instantn+1 au sommetAavec la probabilitp, au sommetB avec la probabilitp, ou encore au sommetCavec la probabilit 1−2p. Pour tout nombre entier natureln, on dsigne enfin par : •A n l’vnement “le pointSest au sommetAÀ l’instantn” et para n sa probabilit. •B n l’vnement “le pointSest au sommetBÀ l’instantn” et parb n sa probabilit. •C n l’vnement “le pointSest au sommetCÀ l’instantn” et parc n sa probabilit. 1. Calculdes probabilitsa n ,b n ,c n . (a) ExprimerÀ l’aide de la formule des probabilits totales les probabilitsa n+1 ,b n+1 ,c n+1 en fonction des proba bilitsa n ,b n ,c n . (b) Endduire une matriceMtelle qu’on ait pour tout nombre entier natureln:    a n+1 a n b n+1 = M b n      c n+1 c n (c) Endduire en fonction deples probabilitsa n ,b n ,c n et leurs limites quandntend vers+∞. 2. Nombresmoyens des passages enA,B,Centre les instants 1 etn. (a) Ondsigne dans cette question parX n la variable alatoire prenant la valeur 1 lorsqueSest au sommetAÀ l’instantn, et prenant la valeur 0 sinon. Interprter la variable alatoireX 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n et son esprancem n =E(X 1 +X 2 +∙ ∙ ∙+X n ), puis tablir que : " # n 1 1−(1−3p) m n =n+2(1−3p). 3 3p Donner un quivalent dem n lorsquentend vers+∞. (b) Dterminerles esprances des nombres de passage du pointSau sommetBet au sommetCentre les instants 1 etn(compris). 3. Instantmoyen du premier passage du pointSaux sommetsBouC. (a) Dterminerla probabilit conditionnelle de l’vnementB n+1 sachant que l’vnementB n (vnement contraire deB n ) est ralis. (b) OnnoteT B la variable alatoire indiquant l’instant oÙ, pour la premire fois, le pointSest au sommetB. Dterminer la loi deT B , puis l’espranceE(T B ) deT B . (c) Quedire deT C , variable alatoire indiquant l’instant oÙ, pour la premire fois, le pointSest au sommetC?

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