Mathématiques III 2003 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques III 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques III 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ESCP-EAP

´ OPTION ECONOMIQUE

´ MATHEMATIQUES III

Jeudi15mai2003,de8ha`12h.

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvit´es`aencadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautoris´ee.

EXERCICE Soita, bdeux entiers naturels non nuls etsleur somme. Une urne contient initialementaboules noires etbboules blanches indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite infinie de tirages au hasard d’une boule selon le protocole suivant : –silabouletire´eestblanche,elleestremisedansl’urne; –silabouletire´eestnoire,elleestremplace´edansl’urneparunebouleblancheprisedansuner´eserve annexe. Avant chaque tirage, l’urne contient donc toujourssboules. Onde´signepar(Ω,B,Pecetelismod´equiil´sabibpeorpscane)uuterltiennaerurpouttocnei,teexeetre´pn non nul, on note : –B n ’´ev´enementl«lan-i`emeboecheetslbnaluterie´»; –X n redenombntleignaseitnahcselboblusdersouucsaeer´valaabrieriose´dlaeltae´npremiers tirages; –u n le’pse´arcndeelavariableal´earioteX n ir-d,ese’ca`-tu n =E(X n ). ´ 1. Etuded’un ensemble de suites SoitAl’ensemble des suites (x n ) n>1 enifit:euli´seqeerrv´d ∗ ∀n∈Nx, s n+1 = (s−1)x n +b+n ∗ a) Soitαetβes(tduerxe´lev n ) n>1 :rapiefin´eeditsula∀n∈N, v n =α n+β. De´terminerenfonctiondebet desles valeurs deαetβpour que la suite (v n ) n>1 appartienne a`A. b) Soit(x n ) n>1 at`anetiusenunetrappaA, (v n ) n>1 laaqueeee`taldnepnrt´esct´ieodee´ustinie´etmr ∗ (y n ) n>1 r:panfieidee´ustial∀n∈N, y n =x n −v n . Montrer que la suite (y n ) n>1 cilir,teeequxpteitneanreruoptuotestunoe´mteirseiuet´glutern non nul,y n puisx n en fonction dex 1 , b, setn.

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2.Expressiondelaprobabilite´P(B n+1 )a’di`laedeu n a) Donner,en fonction debet dese´tilideesivctabobprlaavell,seseeprursP(B 1 ) et du nombreu 1 . b+ 1−u 1 b)Calculerlaprobabilite´P(B 2 ge´’tila:e´tv)eri´erlfieP(B 2 ) =∙ s c) Soitnrelvnatutierunen1tnafiire´6n6a. Montrer que, pour tout entierkde l’intervalle[0, n]], b+n−k laprobabilite´conditionnelleP(B n+1 /[X n =k])a`ealegt´es∙ s b+n−u n Ende´duirel’´egalit´e:P(B n+1 ) =∙ s d) Soitnuntnernieruta´vlefiiretnan > a. Sikest un entier de l’intervalle[0, n−a−eleuq,]]1t[enemenv´´el’stX n =k] ? b+n−k Sikest un entier de l’intervalle[n−a, n,]]tsujligae:t´erifi´el’P(B n+1 /[X n =k]) =∙ s b+n−u n Montrerenfinquel’´egalit´eP(B n+1 se.)=ri´eeefi´ncteevor s 3. Calculdes nombresu n et P(B n ) ´ a) Soitnun entier naturel non nul. Etablir, pour tout entierkde l’intervalle[n+ 1−a, ntila:e´]],l’´eg a−n+k b+n−k+ 1 P([X n+1 =k]) =P([X n =k]) +P([X n =k−1]) s s V´erifiercettee´galite´pourk=n+ 1, k=n−aet pour tout entierkde l’intervalle[1, n−a−1]] . b) Calculer,pour tout entier naturelnnon nul,u n+1 en fonction deu n et denuired´ed.Enauqle suite (u n ) n>1 ppaitra`tnee’laemnseblAadsnaluqseitnotu´e´edi1. c) Donner,pour tout entier naturelnnon nul, les valeurs deu n et deP(B n+1 ) en fonction deb, s etn. d) Quellessont les limites des suites (u n ) n>1 et (P(B n )) n>1 ? ` PROBLEME

Danstoutleprobl`eme,onde´signeparCl’espace vectoriel des applications continues deRdansR. ` A toute applicationfdeC, on associe l’applicationD(f) deRdansRniepar:´dfie ∀x∈R, D(f)(x) =f(x+ 1)−f(x) Les partiesA,BetCteanndpe´endtsion.s Questionpre´liminaire:Dest-il un endomorphisme deC?

Partie A : Image parDtitionder´eparcnofnoitdenu’

1.SoitFune application deCptsodeiore´sdeR.lrelepparioppresquest´´eFee´rmmocpeetreourˆid´econs unefonctionder´epartition. 2.SoitFune application deCquiesutenofcnitnoed´repartitionetgl’applicationD(F). a) Montrerquegest positive. Z x+1 b)Prouver,pourtoutre´elxlbuodal,lage´nie:´eitF(x)6F(t) dt6F(x+ 1). x Z Z x+1x+1 Ende´duirequeleslimiteslimF(t) dtet limF(t) dtisteexrslrueicesrpe´tnte x→−∞x→+∞ x x valeurs. Z B c) SoitAetBfi´ivrsleeten´arxuedA <0< BetI(A, B)inl’egt´lera:I(A, B) =g(t) dt. A Z Z B+1A+1 Justifierl’´egalite´:I(A, B) =F(t) dt−F(t) dt. B A d) Prouveralors soigneusement queglibae´tiede´borpdeneitns.tues

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3. Unexemple On suppose, dans cette question, queFbleal´eaunevariaustiotriqeiuncfoontielastitit’dno´redrape la loi uniforme sur l’intervalle [0,1] et on pose :g=D(F). D´eterminerg(xo´prerueot)tulx, en distinguant les casx <−1,−16x <0, 06x <1 et 16x. Repre´sentergraphiquementl’applicationg.

Partie B : Recherche des valeurs propres deD

Siλqteunoideel,unr´estλest unevaleur propredeDs’il existe une applicationfdeC, distincte de l’applicationnulle,v´erifiant:D(f) =λ f. ax 1.Soitaee´rnuetonnO.lg a l’application deCfiein´d:pera∀x∈R, g a (x) =e. D´eterminerl’applicationD(g a ). 2.deiueruqteuorte´eld´Enλ`aurieerp´strictementsu−1 est une valeur propre deD. ax 3.Soita´eelunrtoeO.nnh a l’application deC´ediefin:rap∀x∈R, h a (x) = sin(πx)e. D´eterminerl’applicationD(h a ). 4.outr´eeluirequetnE´ddeλieer`aurtnem´fnirtsetci−1 est une valeur propre deD. 5.lr´eeLe−1 est-il une valeur propre deD?

Partie C : Image parDd’une application polynomiale Pour tout entier naturelpeop,are´dnngisE p le sous-espace deCoitacilpsnssntme´eapestlonod´sletnel polynomialesdedegre´auplusp. k k On noteXl’applicationx7→xet, pour tout entier naturel non nulk, on noteXl’applicationx7→x. Soit (H i ) i∈N ’appitedlasucaliontiolspomynelaie´dseinfi:rap i−1 Y 1 ∗ H 0 = 1et∀i∈N, H i = (X−k) i! k=0 1.seci´ePrrH 1 , H 2 , H 3 et montrer queU 3 = (H 0 , H 1 , H 2 , H 3 ) est une base deE 3 . 2 3 2.SoitB 3 = (1, X, X, X) la base canonique deE 3 . ´ −1 a) Ecrirela matrice de passagePde la baseB 3 a`alabseU 3 et calculer la matriceP. 2 3 b) Soita 0 , a 1 , a 2 , a 3 set´seredleQl’application polynomialea 0 +a 1 X+a 2 X+a 3 X. Quellessontlescoordonn´eesdeQdans la baseU 3 ? 3 Enparticulier,v´erifierl’´egalite´:X=H 1 + 6H 2 + 6H 3 . 3.Application:momentd’ordre3d’unevariableal´eatoiredePoisson Soita´rnuisiteftmetepontlseeictrZlolantvassoiePidarapednoerte`mnuveraaitoiresuibleal´eaa. n X 3k k a a) Pourtout entier naturelnouurga´ea3l`np,o:esoreeius´pS n = . k! k=0 3 TransformerS n onti:a`’liaededaleral∀k∈N, k=H 1 (k) + 6H 2 (k) + 6H 3 (k). ∞ X 3n3n n an a End´eduirequelas´eriedetermege´ne´ralestconvergenteetpre´ciser∙ n!n! n=0 b)Ende´duirequelavariableale´atoireZ3eodnne´tn’drordunetmemopar:dma 3 23 E(Z) =a+ 3a+a 4.Dans cette question,punfilnlnouterreantienunstex´e. a) Montrerque, siQappartient`aE p ,D(Qa)ppraitneusta`asiE p . On note alorsD p l’endomorphisme deE p ttauoui,`qQdeE p , associeD(Q). b) Montrerque la familleU p = (H 0 , H 1 , . . . , H p ) est une base deE p . c)D´eterminerD p (H 0 ),D p (H 1 ) et prouver, pour tout entieriv0fiant´eri< i6p,l’:e´tilage´ D p (H i ) =H i−1 .

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