CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours
ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON
CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES
OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESIII Année 2005
La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.
EXERCICE Dans tout lexercice,Edésigne un espace vectoriel réel de dimensionn, avecn>2. Sivest un endomorphisme k0 deE, pour tout entier naturelk, on notevlendomorphisme déni par récurrence parv= Id, oùIdreprésente k+1k lendomorphisme identité, etv=vv. Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. 2 Dans cette partie, on suppose que lentiernest égal à 2, et on considère un endomorphismefvériantf= 0et f6= 0.
1. Montrerquil existe un vecteurxdeEtel que(x; f(x))soit une base deE. 0 0 2. Endéduire que la matrice associée àf.dans, cette base est 1 0
Partie B. 2 Dans cette partie, on suppose quen= 4et on cherche à résoudre léquationu=Id, oùuest un endomorphisme deE. Soitfune solution de cette équation. 1. Montrerquil nexiste pas de scalairetel que léquationf(x) =xdinconnuex2E, admette une solution non nulle. 2. Soitxun vecteur non nul deEque la famille. Montrer(x; f(x))est libre. On noteFQuelle est la dimension dele sous-espace vectoriel engendré par cette famille.F?
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3. (a)Montrer quil existe une base deEde la forme(x; f(x); z1; z2). (b) SoitGle sous-espace vectoriel deEengendré par la famille(z1; z2); soityun vecteur non nul deG. Montrer que la famille(x; f(x); y; f(y))est libre. 0 1 001 0 1 0 0 0 B C 4. Montrerque dans une base bien choisie, la matrice associée àfsécrit : @ A 0 0 01 0 0 1 0
Partie C. On suppose dans cette partie, queEdésigne lespace vectorielR3[X]des polynômes à coe¢ cients réels, de degré inférieur ou égal à 3. On dénit surElapplicationfqui, à tout polynômePdeE, associéf(P)déni par 200 0 f(P)(X) = (1 +X)P(X)2XP(X) 0 00 oùPetPsont respectivement les dérivées première et seconde deP. 1. Montrerquefest un endomorphisme deE. 2 3 2. (a)Écrire la matrice associée àfdans la base canonique(1; X; X; X)deE. (b) Endéduire que lensemble des valeurs propres defestf0;2g. On noteE0etE2les sous-espaces propres associés respectivement aux valeurs propres0et2. (c) Déterminerune base deE0et une base deE2. (d) Lendomorphismefest-il diagonalisable ? 2 3. Onveut résoudre dans cette question, léquationu=fdans laquelle linconnueudésigne un endomorphisme deE. Soitgune solution de cette équation. 0 1 0 00 0 0 00 0 2 B C (a) Montrerquil existe une base deEdans laquelle la matrice associée àgsécrit : @ A 0 02 0 0 002 (b) Montrerquefetgcommutent, cest-à-dire que pour toutxdeE, on a(gf)(x) = (fg)(x). (c) Onsintéresse à la restriction degàE0. Montrerque lon dénit ainsi un endomorphisme deE0quon noterag0. Montrer de même que la restriction degàE2dénit un endomorphisme deE2quon noterag2. 4. Enutilisant les résultats des parties précédentes, donner la forme dune matrice associée àg.
PROBLÈME Partie I Dans cette partie,(an)n2Nest une suite de réels strictement positifs, décroissante et de limite nulle. 2n2n+1n X X X k kk Pour tout entier natureln, on pose :un= (1)ak,vn= (1)ak,sn= (1)ak. k=0k=0k=0 1. (a)Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante, et que la suite(vn)n2Nest croissante. (b) Montrerque, pour toutndeN,vn6un. Endéduire que la suite(un)n2Nadmet une limites, et que la suite(vn)n2Nadmet la même limites. (c) Endéduire que la suite(sn)n2Nconverge verss.
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n 2. Montrerque la série de terme général(1)an, est convergente. +1 k k X (1) (1) 3. Montrerque la série de terme généralest convergente.On notesa somme. k+ 1k+ 1 k=0 n1 X n 1t k kn 4. (a)Établir, pour tout réeltpositif et pour toutndeN, légalité :(1)t=(1): 1 +t1 +t k=0 1 nZ X k n (1)t n (b) Endéduire que pour toutndeN:= ln(2)(1)dt k+ 11 +t k=0 0 +1 X k (1) (c) Endéduire la valeur de la somme. k+ 1 k=0 Partie II Deux amis, Pierre et Paul jouent au jeu suivant :ils possèdent une machine qui, à chaque sollicitation, leur donne aléatoirement un entier natureln; chaque sollicitation constitue une manche de ce jeu et :
si cet entiernest impair, Paul donnenon considère que Pierre gagne et que son gain estEuros à Pierre : égal à +n;
si cet entiernest pair, Pierre donnenEuros à Paul :on considère que Pierre perd et que son gain est égal à -n;
sin= 0, on considère que Pierre perd, et que son gain est égal à 0.
On considère un espace probabilisé(;A;P)qui modélise le jeu. SoitXla variable aléatoire correspondant au nombre obtenu lors dune sollicitation. 1. Onsuppose, jusquà la n de la question 5, que la loi de probabilité deXest dénie par P(X= 0) = 0;et pour toutn >1 :P(X=n) = n(n+ 1) oùest un réel strictement positif. 1a b (a) Déterminerdeux réelsaetbtels que, pour toutndeN: =+. n(n+ 1)n n+ 1 (b) Endéduire la valeur de.
2. (a)Calculer la probabilité que Pierre gagne une manche quelconque. (b) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche. 3. Pierreet Paul e¤ectuent deux manches consécutives.On suppose que les résultats de ces deux manches sont indépendants. OnnoteYle gain cumulé de Pierre à lissue de ces deux manches. CalculerP(Y= 0),P(Y= 2)etP(Y=2). 1 Z ln(x) 4. (a)Montrer que lintégraledxest convergente. 2 1x 0 (b) Établir,pour tout réelxde]0; 1[et pour toutndeN, légalité : n 2n+2 X ln(x)xln(x) 2k =xln(x) + 2 2 1x1x k=0
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1 Z 2k (c) Montrerque pour tout entier naturelk, lintégralexln(x)dxconverge. 0 Exprimer en fonction dekla valeur de cette intégrale. 2 xln(x) (d) Montrerque la fonctionx7!, dénie sur]0; 1[, est prolongeable par continuité en 0 et en 1. 2 1x 1 Z 2n+2 xln(x) En déduire quelle est bornée sur [0; 1].Calculerlimdx: 2 1x n!+1 0 1 Z+1 X 2 xln(x) 1 (e) Endéduire légalité :dx=: 2 2 1x(2k+ 1) k=0 0 1 +1Z 2 X 1ln(x) On admet que :=la valeur de. Calculerdx. 2 2 k6 1x k=1 0 5. (a)Déterminer trois réelsa,betctels que pour toutndeN, on ait légalité suivante : 1a bc = ++ 2 2 n(n(+ 1)n+ 2)n(n+ 1)n+ 2 (b) CalculerP(Y= 1). 6. Onsuppose dans cette question queXsuit une loi de Poisson de paramètre, ( >0).
(a) Calculer,en fonction de, la probabilité que Pierre gagne une manche. (b) Comparerla probabilité que Pierre gagne une manche à celle quil perde une manche. (c) Calculerlespérance du gain de Pierre pour une manche.