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Mathématiques Paris et Lyon 2003 Classe Prepa MP Concours Ecole Normale Supérieure

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Concours du Supérieur Concours Ecole Normale Supérieure. Sujet de Mathématiques Paris et Lyon 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Paris et Lyon 2003 sur Bankexam.fr.
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UL 311
SESSION 2003
Filière MP
MATHÉMATIQUES
Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon
Durée : 6 heures
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J. 5006
Tournez la page S.V.P.
Les symbolesC,R,Q,ZetNtrengnsiivctpeesceltnemensedsproombrescom-de´ plexes,lecorpsdesnombresr´eels,lecorpsdesnombresrationnels,lanneaudesentiers relatifs et l’ensemble des entiers naturels. Danstoutceprobl`eme,Destunentierimpairsansfacteurcarr´e.SiS={p1, . . . , ps}, o`usest le cardinal de S, est l’ensemble des nombres premiers divisant D, alors 2/S et D est le produit despi, pour 1is. 2 Lobjetduproble`meestle´tudedelensembleC(Q) des solutions (x, y)Qde 2 3 2 l´equationy=xDx, avecx >nerquelo´dmenortsgatiedenemilt,´eprs´ci.0sulP peut munir C(Q) = C(Q)∪ {∞}d’une structure de groupe commutatifde type fini(cas 2 particulier dueor`th´lW-ieedllMeromede). On note C l’ensemble des solutions dansRde 2 3 2 2 le´quationy=xDx, avecx >0; on a donc C(Q) = CQ. LapartieIdonneuncrite`repermettantdemontrerquungroupecommutatifestde type fini. La partie II munit C = C∪ {∞}Lad’une structure de groupe commutatif. partieIIIdonneuncertainnombredeformulesrelatives`acetteloidegroupe,etlapartie IVestconsacre´e`alade´monstrationduthe´or`emedeMordell-Weil.Ces4partiesreposent surdestechniquesdie´rentesetpeuventsetraiterdemanie`reinde´pendante(pourlapartie III,onnabesoinquedelad´enitiondelaloidadditiondonne´edanslaquestion6.bde lapartieII,etlapartieIVutilisedemani`ereintensivelesformulesdelapartieIIImais pasleurd´emonstration). Ilseratenucomptedusoinapport´e`alar´edaction.Enparticulier,ilestpossible(et mˆemerecommand´e)dutiliserdesr´esultatsd´emontr´esdansdesquestionsant´erieures,mais ilfautindiquerlaquestiono`ulere´sultatapparaıˆt.
I
Danscettepartie,Γestungroupecommutatifpouruneloinot´ee+.Le´l´ementneutre deΓestnot´e0etloppos´edun´ele´mentxeedeΓtson´tx. SinZetxΓ, on note nxlle´eme´Γ´evntdet(0idenx= 0 et (n+ 1)x=nx+xsinZ). On dit que Γ estde type finis’il existerNetx1, . . . , xrsquetoutΓtelt´le´neme r xreriussoesssec´ediupΓmrealofnixi, avecniZ, si 1irdit que Γ est. On i=1 de type fini moduloexilteissoun-eusmesnelbdZinetΓelsque2tout´el´ementxde Γ puisses´ecriresouslaformez+ 2y, aveczZ etyΓ. On appellehauteursur Γ une applicationh: ΓR+telle qu’il existe M0 tel que, 2 quels que soient (x, y)Γ , on ait
|h(x+y) +h(xy)2h(x)2h(y)| ≤M.
On dit quehestadmissiblesi, quel que soit B´lmesee´nest,le0blednsemxanierv´dΓet h(x)B est un ensemble fini.
1
1.On note Γtorsl’ensemble desxΓ tels qu’il existenZ− {0}tel quenx= 0. 1.a.Montrer que Γtorsest un sous-groupe de Γ. 1.b.Le groupe Γtorsssece´nltnemeriai?nst-ie
2.Soithune hauteur sur Γ. n n 2.a.Montrer que, sixiusaedetmrete´geern´4alΓ,lh(2x) tend vers une limite     h(x) quandntend vers +, et qu’il existe M0 tel que|h(x)h(x)| ≤quel queM , soitxΓ. 2.b.Montrer queherv´titn:e´leiedi
    h(x+y) +h(xy) = 2h(x) + 2h(y)
quels que soientx, yΓ.
  2.c.Calculerh(nx) en fonction deh(x), sinZ.
3.On suppose que l’on peut munir Γ d’une hauteur admissibleh. 3.a.Montrer quehest une hauteur admissible sur Γ. 3.b.Montrer queh(x) = 0 si et seulement sixΓtors. 3.c.Montrer que Γtorsest fini.   1 3.d.Montrer que, six=z+ 2y, alorsh(y)(h(x) +h(z)). 2 3.e.Montrer que si Γ est de type fini modulo 2, alors il est de type fini.
II
2 2 3 2 On rappelle que C est l’ensemble des solutions (x, y)Req´tiuaondley=xDx avecx >0. (Il Si (n’est probablement pas inutile de faire un dessin grossier de C.) x0, y0)2 2 C,latangente`aCen(x0, y0lastoidr)etaoi2netde´uqy0(yy0) = (D ) 3x0(xx0). ∗   1v Si (u, v)R×R, notons (u , varnpidee´uolpl)ceu= ,v=, et Pu,vet u u Qu ,vylopmoˆn´dseinesparesl  
3 2 2 Pu,v(x) =xDx(ux+v)
et
 3 2 2 Qu ,v(y) = (u y+v)D (u y+v)y .  
On note Du,vuqtade´oinoiteladry=ux+vlisiartuopru.nOstraemonnsd´ersaselnoit e´quivalences(I1)(I2)(I3), avec (I1) (x, y)Du,vC (I2)x >0, Pu,v(x) = 0 ety=ux+v   (I3) Qu ,v(y) = 0 etx=u y+v >0   et, si (x0, y0)CDu,vivqu´eess(ceenal)1Tl,(T2)(T3), avec (T1) Du,vesttanegtn`eCane(x0, y0)
2
(T2) Pu,v´zreanueeblouodnx0 (T3) Qu ,vnuauodore´zbleeny0.  
1.Soitn(u, v) le cardinal de l’intersection de C avec la droite Du,vnoitauqe´dy=ux+v. 1.a.Montrer quen(u, v)3. 2 1.b.Montrer que U ={(u, v)R×R, n(u, v) = 3}est un ouvert deR. 1.c.Montrer que, sin(u, v)2 et si Du,vastpesnteenngtarola,Ca`sn(u, v) = 3. 2 1.d.Montrer que, si (a, b)R, il n’existe qu’un nombre fini de points P de C tels quelatangente`aCenPpassepar(a, b).
2.Si P = (x, y)C, on posex(P) =xety(P) =y. 2.a.Montrer que, sitR, il existe un unique point P(ted)ntaire´vCy(P(t)) =t, et que, si on pose F(t) =x(P(t)), alors C est l’ensemble des couples (F(y), y), avecyR. 2.b.Montrer que F(y)D quel que soityR, que F est paire, que l’on a F(y1) = 1 F(y2) si et seulement siy1=±y2, et que F est de classeCsurR. 2/3 2.c.Montrer que|y|F(y) tend vers 1 quandytend vers +ou vers−∞. 2.d.SoientaRettR− {0, a,a}D(. Notons a, t) la droite joignant P(t)`a P(a) et Ha(tl)le´me´edentR´edipnra
 3 3ta tF(a)aF(t)tF(a)aF(t) 2 a tHa(t) =− −D. F(t)F(a)ta ta
Montrerquelonalese´quivalencessuivantes: (i) Ha(t)/{a, t} ⇔P(Ha(tondeCetD())tlesroeti`isepemtnionidsretitcea, t); (ii) Ha(t) =aD(a, tCa`etnegnataltseP(e)na); (iii) Ha(t) =tD(a, tltta)seP(aCennte`anget). 2.e.Calculer la limite de Ha(t) quandttend vers +devient la droite D(. Que a, t)? +2dt 3.uqsedtsesitnoeduiOnd´2.bet2.culosbaectniledeaclenrgveon´egrale2 2. −∞3F(t)D +2dt OnnoteΩlavaleurdelinte´grale2 2onnctinefonitu´deteno,y→L(y) par −∞3F(t)D la formule y 2dt L(y) =. 2 2 3F(t)D −∞
3.a.Montrer que L induit une bijection deRsur ]0,Ω[. 3.b.Calculer L(y) + L(y) siyR.
4.Soientx1, . . . , xn.uxde`auxbrescomp,desnomitcnstedelexdssi
3