Mathématiques Paris et Lyon 2003 Classe Prepa MP Concours Ecole Normale Supérieure

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Concours du Supérieur Concours Ecole Normale Supérieure. Sujet de Mathématiques Paris et Lyon 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques Paris et Lyon 2003 sur Bankexam.fr.

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• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 26 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

UL 311

SESSION 2003

Filière MP

MATHÉMATIQUES

Epreuve commune aux ENS de Paris et Lyon

Durée : 6 heures

L’usage de toute calculatrice est interdit.

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J. 5006

Tournez la page S.V.P.

Les symbolesC,R,Q,ZetNtrengnsiivctpeesceltnemensedsproombrescom-de´ plexes,lecorpsdesnombresr´eels,lecorpsdesnombresrationnels,l’anneaudesentiers relatifs et l’ensemble des entiers naturels. Danstoutceprobl`eme,Destunentierimpairsansfacteurcarr´e.SiS={p 1 , . . . , p s }, o`usest le cardinal de S, est l’ensemble des nombres premiers divisant D, alors 2/∈S et D est le produit desp i , pour 1≤i≤s. 2 L’objetduproble`meestl’e´tudedel’ensembleC(Q) des solutions (x, y)∈Qde 2 3 2 l’´equationy=x−Dx, avecx >nerquel’o´dmenort’sgatiedenemilt,´eprs´ci.0sulP peut munir C(Q) = C(Q)∪ {∞}d’une structure de groupe commutatifde type fini(cas 2 particulier dueor`th´lW-ieedllMeromede). On note C l’ensemble des solutions dansRde 2 3 2 2 l’e´quationy=x−Dx, avecx >0; on a donc C(Q) = C∩Q. LapartieIdonneuncrite`repermettantdemontrerqu’ungroupecommutatifestde type fini. La partie II munit C = C∪ {∞}Lad’une structure de groupe commutatif. partieIIIdonneuncertainnombredeformulesrelatives`acetteloidegroupe,etlapartie IVestconsacre´e`alade´monstrationduthe´or`emedeMordell-Weil.Ces4partiesreposent surdestechniquesdiffe´rentesetpeuventsetraiterdemanie`reinde´pendante(pourlapartie III,onn’abesoinquedelad´efinitiondelaloid’additiondonne´edanslaquestion6.bde lapartieII,etlapartieIVutilisedemani`ereintensivelesformulesdelapartieIIImais pasleurd´emonstration). Ilseratenucomptedusoinapport´e`alar´edaction.Enparticulier,ilestpossible(et mˆemerecommand´e)d’utiliserdesr´esultatsd´emontr´esdansdesquestionsant´erieures,mais ilfautindiquerlaquestiono`ulere´sultatapparaıˆt.

I

Danscettepartie,Γestungroupecommutatifpouruneloinot´ee+.L’e´l´ementneutre deΓestnot´e0etl’oppos´ed’un´ele´mentxeedeΓtson´t−x. Sin∈Zetx∈Γ, on note nxlle´’eme´Γ´evntdet(0idenx= 0 et (n+ 1)x=nx+xsin∈Z). On dit que Γ estde type finis’il exister∈Netx 1 , . . . , x r ∈squetoutΓtelt´le´neme  r xreriussoesssec’´ediupΓmrealofn i x i , avecn i ∈Z, si 1≤i≤rdit que Γ est. On i=1 de type fini moduloexilteissoun-eusmesnfielbdZinetΓelsq’ue2tout´el´ementxde Γ puisses’´ecriresouslaformez+ 2y, avecz∈Z ety∈Γ. On appellehauteursur Γ une applicationh: Γ→R + telle qu’il existe M≥0 tel que, 2 quels que soient (x, y)∈Γ , on ait

|h(x+y) +h(x−y)−2h(x)−2h(y)| ≤M.

On dit quehestadmissiblesi, quel que soit B≥´lmesee´nest,l’e0blednsemxanifierv´dΓet h(x)≤B est un ensemble fini.

1

1.On note Γ tors l’ensemble desx∈Γ tels qu’il existen∈Z− {0}tel quenx= 0. 1.a.Montrer que Γ tors est un sous-groupe de Γ. 1.b.Le groupe Γ tors ssece´nltnemeriai?finst-ie

2.Soithune hauteur sur Γ. −n n 2.a.Montrer que, six∈iusaedetmrete´geern´4alΓ,lh(2x) tend vers une limite     h(x) quandntend vers +∞, et qu’il existe M≥0 tel que|h(x)−h(x)| ≤quel queM , soitx∈Γ.  2.b.Montrer queherv´titn:e´lefiiedi’

    h(x+y) +h(x−y) = 2h(x) + 2h(y)

quels que soientx, y∈Γ.

  2.c.Calculerh(nx) en fonction deh(x), sin∈Z.

3.On suppose que l’on peut munir Γ d’une hauteur admissibleh.  3.a.Montrer quehest une hauteur admissible sur Γ.  3.b.Montrer queh(x) = 0 si et seulement six∈Γ tors . 3.c.Montrer que Γ tors est fini.    1 3.d.Montrer que, six=z+ 2y, alorsh(y)≤(h(x) +h(z)). 2 3.e.Montrer que si Γ est de type fini modulo 2, alors il est de type fini.

II

2 2 3 2 On rappelle que C est l’ensemble des solutions (x, y)∈Req’´tiuaondley=x−Dx avecx >0. (Il Si (n’est probablement pas inutile de faire un dessin grossier de C.) x 0 , y 0 )∈ 2 2 C,latangente`aCen(x 0 , y 0 lastoidr)etaoi2net’de´uqy 0 (y−y 0 ) = (−D ) 3x 0 (x−x 0 ). ∗    1  v Si (u, v)∈R×R, notons (u , varnfipidee´uolpl)ceu= ,v=−, et P u,v et u u Q u ,v ylopmoˆn´dseinfiesparesl  

3 2 2 P u,v (x) =x−Dx−(ux+v)

et

 3 2 2 Q u ,v (y) = (u y+v)−D (u y+v)−y .  

On note D u,v uqta’de´oinoiteladry=ux+vlisiartuopru.nOstraemonnsd´ersaselnoit e´quivalences(I1)⇔(I2)⇔(I3), avec (I1) (x, y)∈D u,v ∩C (I2)x >0, P u,v (x) = 0 ety=ux+v   (I3) Q u ,v (y) = 0 etx=u y+v >0   et, si (x 0 , y 0 )∈C∩D u,v ivqu´eess(ceenal)1Tl,⇔(T2)⇔(T3), avec (T1) D u,v esttanegtn`eCane(x 0 , y 0 )

2

(T2) P u,v ´zreanueeblouodnx 0 (T3) Q u ,v nuauodore´zbleeny 0 .  

1.Soitn(u, v) le cardinal de l’intersection de C avec la droite D u,v noitauqe´’dy=ux+v. 1.a.Montrer quen(u, v)≤3. ∗2 1.b.Montrer que U ={(u, v)∈R×R, n(u, v) = 3}est un ouvert deR. 1.c.Montrer que, sin(u, v)≥2 et si D u,v astpesn’teenngtarola,Ca`sn(u, v) = 3. 2 1.d.Montrer que, si (a, b)∈R, il n’existe qu’un nombre fini de points P de C tels quelatangente`aCenPpassepar(a, b).

2.Si P = (x, y)∈C, on posex(P) =xety(P) =y. 2.a.Montrer que, sit∈R, il existe un unique point P(ted)ntafiire´vCy(P(t)) =t, et que, si on pose F(t) =x(P(t)), alors C est l’ensemble des couples (F(y), y), avecy∈R. 2.b.Montrer que F(y)≥D quel que soity∈R, que F est paire, que l’on a F(y 1 ) = 1 F(y 2 ) si et seulement siy 1 =±y 2 , et que F est de classeCsurR. −2/3 2.c.Montrer que|y|F(y) tend vers 1 quandytend vers +∞ou vers−∞. ∗ 2.d.Soienta∈Rett∈R− {0, a,−a}D(. Notons a, t) la droite joignant P(t)`a P(a) et H a (tl)le´’me´edentR´edipfinra

  3   3  t−a tF(a)−aF(t)tF(a)−aF(t) 2 a tH a (t) =− −D. F(t)−F(a)t−a t−a

Montrerquel’onalese´quivalencessuivantes: (i) H a (t)∈/{a, t} ⇔P(H a (tondeCetD())tlesroeti`isepemtnioni’dsretitcea, t); (ii) H a (t) =a⇔D(a, tCa`etnegnataltseP(e)na); (iii) H a (t) =t⇔D(a, tltta)seP(aCennte`anget). 2.e.Calculer la limite de H a (t) quandttend vers +∞devient la droite D(. Que a, t)?  +∞ 2dt 3.uqsedtsesitnoeduiOnd´2.bet2.culosbaectni’ledeaclenrgveon´egrale 2 2 . −∞ 3F(t)−D  +∞ 2dt OnnoteΩlavaleurdel’inte´grale 2 2 onnctinefonitu´dfieteno,y→L(y) par −∞ 3F(t)−D la formule  y 2dt L(y) =. 2 2 3F(t)−D −∞

3.a.Montrer que L induit une bijection deRsur ]0,Ω[. 3.b.Calculer L(y) + L(−y) siy∈R.

4.Soientx 1 , . . . , x n .uxde`auxbrescomp,desnomitcnstedelexdssi

3