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Mathématiques pour l'informatique 2005 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2005 sur Bankexam.fr.
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Universit´eParis7 DEUG MIAS et MASS
Ann´ee2004/2005 MT231
Examen du 21 janvier 2005 Dur´ee:3heures.Bare`me:3,3,5,5,4. LaquestionIII4esthorsbare`me. Lutilisationdecalculatrices,te´le´phonesportablesetdocumentsestinterdite.
I De´terminerlanaturedesse´riesnum´eriquessuivantes. X 1 1- cos n n1 n X (1) 2-log(2 +n) n0 X n n 3- . 2 (n!) n1 II 2 Soitaupnramae`el´eertrtoi.Sfl’endomorphisme deRnipd´ear 2 f(x, y) = (2x+ay, x+ 2y),pour tout(x, y)R. 1- Pour quelles valeurs deal’endomorphismef?est-il diagonalisable 2 2-Danslecasou`fiatdessedenebaneruermi´dtelb,eilasoganRnsticoedevtu´erusceet propres def. III Onconside`relamatrice   1 11   A=23 0. 13 1 1-D´eterminerlesvaleurspropresdeA. La matriceAest-elle diagonalisable?
1 2-D´eterminerunematriceinversiblePtelle queP AP=T, avec   2 0 0   T= 01 1. 0 01 Indication : si(v1, v2, v3)sont les vecteurs colonnes qui formentP, on pourra d’abord   a   ´etablirunerelationentrev2,v3etAv3, puis chercherv3de la formeb. 0
3-Re´soudrelesyst`emedi´erentielsuivant: 0 x=x+yz 0 y=3x+2z . 0 z=3x+y+z
2 3k 4- CalculerT,Tsu´gtelpraleen´ementT, pour toutkN.cidnIonn:ioataircr´e 2 T=D+No,u`Dest diagonale,N= 0etDN=N D. k Ende´duireA, pour toutkN.
IV
Onconside`rele´quationdie´rentielle 200 0 (1x)y4xy2y= 0.(1) 1-Onrecherchelessolutionsdecettee´quationquisontd´eveloppablesense´rieentie`resur P n un voisinage de 0. On posey(x) =cnx. n=0 Donneruneconditionne´cessaireetsusantesurlescoecientscnpour queysoit une solution de (??). 2-D´emontrerquilexisteuneuniquesolutionf-iovsinti`rieeuruneresleveappoeelbe´snd´ 0 nage de 0 telle quef(0) = 1 etfs´erie.encedelacenoevgrelaroydne´D.0=)0renimret( 3-De´montrerquilexisteuneuniquesolutiongeent´erieenspabllepo´dve-isiovnurusere`i 0 nage de 0 telle queg(0) = 0 etg0)(.D=1ete´nimrelreoyarndeconvergencedeal´sreei. 4-Pouvez-vousreconnaıˆtrea`partirdesse´riesdonnantfetgrespectivement des expres-sions plus simples?
V
Onconsid`erelasuitedefonctions(fn)d:´rapeine n1 12 nx fn(x) =exR. 2 n P 1-Montrerquelase´riedefonctionsfnconverge simplement surR. On posera X f(x) =fn(x),pour toutxR. n=1 2- Montrer quefest une fonction continue surR.
∗ 00 3- SoitnN. Etudier la fonctionflerlauc`nca¸aocd,fean= maxxR|f(x)|. n n
4- Montrer quefontincfonetueselusr´drevibaR.