Mathématiques pour l'informatique 2005 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français

Extrait

Universit´eParis7 DEUG MIAS et MASS

Ann´ee2004/2005 MT231

Examen du 21 janvier 2005 Dur´ee:3heures.Bare`me:3,3,5,5,4. LaquestionIII4esthorsbare`me. L’utilisationdecalculatrices,te´le´phonesportablesetdocumentsestinterdite.

I De´terminerlanaturedesse´riesnum´eriquessuivantes. X 1 1- cos n n≥1 n X (−1) 2- log(2 +n) n≥0 X n n 3- . 2 (n!) n≥1 II 2 Soitaupnramae`el´eertrtoi.Sfl’endomorphisme deRfinipd´ear 2 f(x, y) = (2x+ay, x+ 2y),pour tout(x, y)∈R. 1- Pour quelles valeurs deal’endomorphismef?est-il diagonalisable 2 2-Danslecasou`fiatdessedenebaneruermi´dtelb,eilasoganRnsticoedevtu´erusceet propres def. III Onconside`relamatrice   −1 1−1   A= −23 0 . −13 1 1-D´eterminerlesvaleurspropresdeA. La matriceAest-elle diagonalisable?

−1 2-D´eterminerunematriceinversiblePtelle queP AP=T, avec   2 0 0   T = 0−1 1 . 0 0−1 Indication : si(v 1 , v 2 , v 3 )sont les vecteurs colonnes qui formentP, on pourra d’abord   a   ´etablirunerelationentrev 2 ,v 3 etAv 3 , puis chercherv 3 de la forme b . 0

3-Re´soudrelesyst`emediff´erentielsuivant:  0  x=−x+y−z 0 y=−3x+2z .  0 z=−3x+y+z

2 3k 4- CalculerT,Tsu´gtelpraleen´ementT, pour toutk∈N.cidnIonn:ioataircr´e 2 T=D+No,u`Dest diagonale,N= 0etDN=N D. k Ende´duireA, pour toutk∈N.

IV

Onconside`rel’e´quationdiffe´rentielle 200 0 (1−x)y−4xy−2y= 0.(1) 1-Onrecherchelessolutionsdecettee´quationquisontd´eveloppablesense´rieentie`resur P ∞ n un voisinage de 0. On posey(x) =c n x. n=0 Donneruneconditionne´cessaireetsuffisantesurlescoefficientsc n pour queysoit une solution de (??). 2-D´emontrerqu’ilexisteuneuniquesolutionf-iovsinti`rieeuruneresleveappoeelbe´snd´ 0 nage de 0 telle quef(0) = 1 etfs´erie.encedelacenoevgrelaroydne´D.0=)0renimret( 3-De´montrerqu’ilexisteuneuniquesolutiongeent´erieenspabllepo´dve-isiovnurusere`i 0 nage de 0 telle queg(0) = 0 etg0)(.D=1ete´nimrelreoyarndeconvergencedeal´sreei. 4-Pouvez-vousreconnaıˆtrea`partirdesse´riesdonnantfetgrespectivement des expres- sions plus simples?

V

Onconsid`erelasuitedefonctions(f n )d:´rapeinfie n≥1 1 2 −nx f n (x) =e∀x∈R. 2 n P 1-Montrerquelase´riedefonctionsf n converge simplement surR. On posera ∞ X f(x) =f n (x),pour toutx∈R. n=1 2- Montrer quefest une fonction continue surR.

∗ 00 3- Soitn∈N. Etudier la fonctionflerlauc`nca¸aocd,fea n = max x∈R |f(x)|. n n

4- Montrer quefontincfonetueselusr´drevibaR.