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Mathématiques pour l'informatique 2006 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2006 sur Bankexam.fr.
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Universite L2, MIAS
Paris 7 et MASS
Partieldu4novembre
MI3 et MA3 2006-2007
1)Determinerlanaturedesseriessuivantes: µ ¶n 3 5n X XX X 3 (n!) lnn(1) 1,, ,tan. 4/3 n(3n)!n n n1n1n1n1 2) a)Soit (an)n0uqeleeluqteumenrieneuitsu 1 nNan100. 100 P n Quelestlerayondeconvergencedelaserieentiereanz? n0 P3 n b)Determinerlerayondeconvergencedelaserieentierez.Indication :on pourra n0 2 n discuter,suivantleparametrereelpositifr, la valeur de limn+r. 3) Pourtout entierniderela1,onconsnoitcnoffn:R+Rtelle que ¡x¢ 1 n x0fn(x) =1e . n a)Etudierbrievementlafonctionfn, sur l’intervalle [0,+[. P b)Montrerquelaseriedefonctionsfnconverge simplement surR+. n1 X On poseraf(x) =fn(x) pour toutx0. n=1 P f c) Soitbnurpusrelalcuif.Cositeelp0xb|fn(x)|ueeqirduend.Eedofcnitalsreeionsn1n converge normalement sur [0, b]. P d) Calculersup|fn(x)|fonciedestionqeriuderesaleund.Efnne converge pas nor-x0n1 malement sur [0,+[. e) Montrerquefest une fonction continue sur [0,+[. 0 f) Montrerquefdontincfonetues0us[rbaelrevi,+[, et quef(x)>0 pour toutx0. g) Montrerque, pour tout entiermteottureel1xm, on a mµ ¶m X X 1 1 f(x)fn(x)1 √. e n n=1n=1 h) Montrerque limx+f(x) = +. (Tourner la page)