Examen du 12 janvier 2007 Dure´e:3heures Bar`emeindicatif:I=2;II=2;III=2;IV=6;V=7;VI=3 L’utilisationdecalculatrices,t´el´ephonesportablesetdocumentsestinterdite.
MI3 2006-2007
I Question de cours.SoitAerdro’dee´rrcecaatriunemna`,olis.eSer´ttsenciefficoSl’ensemble des n0 fonctionsX:R→Rntre´eiffelliesned’le´uqtaoidnquisontsolutioX=AX. 1)Montrer queSest un espace vectoriel. 2)Quelle est la dimension deSepnddeasneonmade(?se).al´rpenoujtsfiire II Soitα∈[0, πonlesrenimrete´D.]αaseleduratanl:eavtnseiue´ir X 1 sinα+. 2 n n≥1
III Soit (an)n∈Nebromunasuildse´etedeldsicamirrationnelπ(i.e.a0= 3,a1= 1,a2= 4, etc.). On P ∞ n consid`erelase´rieentie`reanz. n=0 1)rueire´pustseeir.a1l`ga´eounoevdncearoyeueles´ecettcedergene´Dtnomqrer 2)eu’lneesomtnerqr´eDmble{n∈N|an6= 0}est infini. 3).tseeire´1a`lage´geernvcoaselednc´Dnomeayerdeonertrelqu IV ∗ Pour toutn∈Net toutx∈R, on pose −(n+1)x e fn(x) =. n(n+ 1) P 1)tcoisnquelas´eriedefon´Dnomerertfnest normalement convergente sur [0,+∞[. n≥1 P On poseraf(x) =fn(x), pour toutx∈[0,+∞[. n≥1 2)Montrer quefest continue sur [0,+∞[. P 0 3)v´eeried´eriLsae´fest-elle absolument convergente sur [0,+∞Ju[?ifistope´.esnovrerert n≥1n P 0 D´emontrerque,pourtoutb >´sre,0aliefest normalement convergente sur [b,+∞[. n≥1n 4)emontrerque´Dfbaviusel0]rd´er,+∞0[serue[stteecd´isrontsa,+∞[. 5)e´tiDe´rerlmontegal’in´ −x e ∀x >0f(x)≤. −x 2(1−e) End´eduirequelimx→∞f(x) = 0. 6)Calculerf(0).
V 3 Soita∈R.Omeisphoromdne’lere`disnocnϕadeRdont la matrice dans la base canonique (e1, e2, e3) est : ! −1−1 1 Ma=−1a1. −3a−2 3 1)alCeprllecuemoˆnyloe´tcaraciqueristdeϕae´D.mretorpsserpmbseleerinenl’.Endrisee´udelruseav desre´elsapour lesquelsϕaest diagonalisable. 2)rete´Deeslse´redblemns’erlnemiapour lesquelsϕaest trigonalisable. 3roe´sodetnuqanavesuppOna= 0. Trouver une matrice inversiblePet une matriceTde la forme : ! λ10 0 T= 0λ21, 0 0λ2 −1 telles queP M0P=T. ´ 4)EcrireTsous la formeT=D+Nu,o`Dest une matrice diagonale etNune matrice telle que 2k N= 0 etDN=N Dire.End´eduTpour toutk∈N. Expliquer comment vous feriez pour calculer k (M0) .
VI 2 1)el’ed`erorphndomsiemisnocnOϕdeRdont la matrice dans la base canonique (e1, e2) est : 0 1 A=. −9 6 Calculerlepolynˆomecaracte´ristiquedeϕrpsepsorelruseavesirdu´end.E. 2)lesyudre´esoRre´ffitnee`tsidemel 0 x(t) =y(t) 0, y(t) =−9x(t6) +y(t) o`ulesinconnuesxetyavlbseednodse´iresfonctisontdRdansR. 00 0 3)erordocdndusetionequael’´ituldsnoleriossendEdu´ef(t)−6f(t) + 9f(t) = 0.