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Mathématiques pour l'informatique 2007 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2007 sur Bankexam.fr.
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Universite L2, MIAS
Paris Diderot et MASS
Partiel du 10 novembre
MI3 et MA3 2007-2008
1)Question de cours 1. a)Enoncerletheoremeconcernantlnoetmretgearituneseriatermedsnoiedfedetcnoesnini sur un intervalle[a, b]. b)Alaidedecetheoreme,prouverque: X 2n+1 x n x]1,1[ arctanx= (1). 2n+ 1 n=0 2)Question de cours 2. a)Donnerlenoncedutheoremesurlesenretlaseesries. b) Onnote pour tout entiern2 : 1 an=. n n+ (1) P n Peut-onappliqueralaserie(1)an?seenretlasesserieemesurlelhtero n2 Etudierlaserie µ ¶ n X (1) n √ (1)an. n n2 P n Endeduirelanaturedelaserie(1)an. n2 3)Determinerlanaturedesseriessuivantes: µ ¶µ ¶ 2 n n X XX XX 1 (2n()! 11) 11 1, ,, ,sin. 2n n(n!) (lnn)n2n+ (1)n n n1n1n2n1n1 4)Onconsiderelasuitedefonctions(fn)n0suesniedrR+par : x x0fn(x) =. 3 2 1 +n x P a)Montrerquelaseriefnconverge simplement surR+. n0 X On poseraf(x) =fn(x)urtopoeelutrx0. n=0 P b)Montrerquelaseriedefonctionsfnconverge normalement surR+. Quelle conclusion n0 peut-on en tirer concernant la fonctionf? P 0 c) Soitanureelqueelta >.Mon0nsonefioctesadeirrertleuqfconverge normalement n0n sur [a,+[. Quelle conclusion peut-on en tirer concernant la fonctionf? d)Montrerlexistencepourtoutreelx >:reopprimleratgelni0ed Z dt . 3 2 1 +t x 0 Deslorsondeniralafonctiong: ]0,+[Rpar Z dt x >0g(x) =. 3 2 1 +t x 0 e) Al’aide d’un changement de variable, exprimer simplementg(x) en fonction dex. f) Montrerquef(x)xg(x), pour toutx >0. La fonctionfvibaelneleeldreest-0?