Mathématiques pour l'informatique 2007 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

Universite L2, MIAS

Paris Diderot et MASS

Partiel du 10 novembre

MI3 et MA3 2007-2008

1)Question de cours 1.  a)Enoncerletheoremeconcernantl’noetmretgearituneseriatermed’snoiedfedetcnoesnini sur un intervalle[a, b].  b)Al’aidedecetheoreme,prouverque: ∞ X 2n+1 x n ∀x∈]1,1[ arctanx= (1). 2n+ 1 n=0 2)Question de cours 2. a)Donnerl’enoncedutheoremesurlesenretlaseesries. b) Onnote pour tout entiern2 : 1 a n = √ . n n+ (1) P n –Peut-onappliqueralaserie(1)a n ?seenretlasesserieemesurlelhtero n2  –Etudierlaserie µ ¶ n X (1) n √  (1)a n . n n2 P n –Endeduirelanaturedelaserie(1)a n . n2 3)Determinerlanaturedesseriessuivantes: µ ¶µ ¶ 2 n n X XX XX 1 (2n()! 11) 11 1, , √ , ,sin. 2n n(n!) (ln n)n 2n+ (1)n n n1n1n2n1n1 4)Onconsiderelasuitedefonctions(f n ) n0 suesniedrR + par : x ∀x0f n (x) =. 3 2 1 +n x P a)Montrerquelaserief n converge simplement surR + . n0 ∞ X On poseraf(x) =f n (x)urtopoeelutrx0. n=0 P b)Montrerquelaseriedefonctionsf n converge normalement surR + . Quelle conclusion n0 peut-on en tirer concernant la fonctionf? P 0 c) Soitanureelqueelta >.Mon0nsonefioctesadeirrertleuqfconverge normalement n0 n sur [a,+∞[. Quelle conclusion peut-on en tirer concernant la fonctionf? d)Montrerl’existencepourtoutreelx >:reopprimleratge’lni0ed Z ∞ dt . 3 2 1 +t x 0 Deslorsondeniralafonctiong: ]0,+∞[→Rpar Z ∞ dt ∀x >0g(x) =. 3 2 1 +t x 0  e) Al’aide d’un changement de variable, exprimer simplementg(x) en fonction dex. f) Montrerquef(x)xg(x), pour toutx >0. La fonctionfvibaelneleeldreest-0?