Mathématiques spécifique 2006 Concours National DEUG

Vincent

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mathématiques spécifique 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques spécifique 2006 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 08 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2006 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve spécifique concours Physique MATHEMATIQUES PARTIE II Durée : 2 heures Les calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. * * * Autour des fonctionsΓet d’Euler Si l’on rentre sur un logiciel de calcul formel l’instruction : sum(1/(n^2-α^2), n=1..infinity); on obtient le résultat suivant : 1− α ) ψ ( 1+ α ) 1 1 − +. 2α2α Un des objectifs du problème qui comporte trois paragraphes est de démontrer la formule correspondante suivante : +∞ ψ ( 1+ α ) − ψ1− α ) 1 ∑ 2 2 = 2α n − α n=1 oùα ∈0,1 [ etψest une fonction « d’Euler » que l’on définira ultérieurement. Dans le paragraphe I, on définit la fonction Gamma d’Euler et on en montre quelques propriétés que l’on utilisera dans le paragraphe II pour définir la fonctionψet démontrer la formule ci- d’Euler dessus. Enfin, dans le paragraphe III, on étudie plus en détail la fonction Gamma, dans le but de la représenter graphiquement. Les paragraphes II et III sont indépendants mais utilisent des résultats du paragraphe I.

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1. Questionspréliminaires 1 ∑ 2 2 a.Soit α ∈0,1 [ ., justifier la convergence de la série α n1 n− ≥ 1 β b.Pour quelle(s) valeur(s) deβ l’intégraletdtOn ne demandeconvergente ? est-elle ∫ 0 pas de justifier. I. La fonction Gamma d’Euler 2.Soit unréel strictement positif, justifier l’existence d’un réel A strictement positif, tel que −t x−1 1 pour tout réel t  strictementsupérieur à A , on aitet<, puis montrer que l’intégrale 2 t +∞ −t x−1 etdtest convergente. ∫ 0 +∞ −t x−1 On peut donc définir sur 0,+∞ [ , la fonction Gamma d’Euler notéeΓparΓ( )=etdt. ∫ 0 3. CalculerΓmontrer la relation fondamentale suivante notée(1) puis ( F ) : ∀ ∈0,+∞ [ ,Γ(x+1)=xΓ(x) ( F ) .  EndéduireΓSoit(2) .nun entier naturel non nul, donner une expression simple deΓ(n) . 4. Dérivabilité de la fonction Gamma  Soientaetbdes réels tels que 0<a<b . −1 a. Pour tout réeltstrictement positif, on définit sur 0,∞ [ , la fonctionhpar h(x)=t . tt  Déterminerles variations deh. On pourra discuter selon la valeur det. t x−1a−1b−1 ∀ ∈∀ ∈+∞ ≤≤ +  Endéduire que [ a,b,t0, [ , 0t tt ) . ( b.: pour tout réelPour cette question, on pourra utiliser librement le résultat suivantr +∞ −t r strictement supérieur à−1, l’intégraleetlntdtest convergente. ∫ 0  Montrer avec soin que la fonctionΓ estdérivable sur [ a,b  etdéterminer Γ′ ( ) sous forme d’intégrale. La fonction Γ est donc dérivable sur 0,∞ [ . On montre de la même façon et onadmet que Γ est ∞ de classe C sur 0,+∞ [ . (p)( ) 5. Soitpun entier naturel, écrire sans justifier Γ( ) sousforme d’intégrale. (Γdésigne la dérivéep-ième deΓ). II.La fonction ψ d’Euler On montre sans difficulté, que pour tout réelxstrictement positif,Γ(x)>0 .On peut donc définir Γ′ ( ) sur 0,+∞ [ , la fonctionψd’Euler par ψ(x)= . Γ( ) Soit α ∈0,1 [ .

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6.Relation entreψet des sommes. a. Quelle relation différentielle relieψet lnΓ? En déduire que 1 ∀x∈ ] 0,+∞ [ ,ψ(x+1)− ψ(x)=(on pourra utiliser ( F ) ). b.Soitn unentier naturel non nul, déterminer en fonction den etde α , quatre réels u,v,u,vtels que 1 12 2 n n 1 1 = ψ(u)− ψ(v) et= ψ(u)− ψ(v) . ∑ ∑ 1 12 2 k− αk+ α k = 1k = 1 1 7. Décomposer en éléments simplesla fraction rationnelleR(X)=puis en déduire que 2 2 X− α l’on a, pour tout entier naturel non nuln: n 1 11 ∑ 2 2 = ( ψ(1+ α)− ψ(1− α) ) + ( ψ(n+1− α)− ψ(n+1+ α) ) . 2α2α − α k=1 k 8. Enoncer avec soin l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire +∞ 2 ( ,g ) f(t)g(t) dtΓdésigne la où 6, puis l’utiliser pour montrer que ( Γ′ ) ≤ Γ′′ × Γ′′ ∫ 0 dérivée seconde deΓ. En déduire que la fonctionψest croissante. 9.Montrer que pour tout entier naturel non nuln, on a 1 1  0≤ ψ(n+1+ α)− ψ(n+1− α)≤ +(penser que α ∈ 0,1 [ ). n+1n +∞ ψ ( 1+ α ) − ψ ( 1− α ) 1 ∑ 2 2  Conclureque=. 2α n− α n = 1 III. Etude de la fonction Gamma 10.Utiliser ( F ) pour déterminer un équivalent deΓEn déduire la limite0 .au voisinage de + deΓen 0. 11. ′ a.Justifier queΓest strictement croissante sur0; ∞ [ . b.Justifier l’existence d’un réel c∈1, 2 que tel Γ′ (c)=0 .En déduire le signe deet enfin, les variations deΓ. 12. a.Déterminer la limite deΓen ∞ . On pourra utiliser des résultats précédents. b.Dessiner l’allure du graphe de Γ . On représentera, s’il y a lieu, les asymptotes et les tangentes horizontales. Fin de l’énoncé

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