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Mécanique commune 2003 Concours National DEUG

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Concours du Supérieur Concours National DEUG. Sujet de Mécanique commune 2003. Retrouvez le corrigé Mécanique commune 2003 sur Bankexam.fr.
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SESSION 2003 CONCOURS NATIONAL DEUG _______________ Epreuve commune concours Physique et concours Chimie MECANIQUE PARTIE I Durée : 2 heuresLes calculatrices sontautorisées. NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.Avertissement : Tousles résultats numériques sont demandés dans un format scientifique avec 3 une précision au millième (exemple : 1,623.10) et en unité S.I., unité qui est à préciser. Exercice 1 : Etude d’un pendule Un pendule (S) est constitué d’une plaque en forme de demidisque de rayon r, de masse volumiqueµ, d’épaisseur e constante, négligeable devant les autres dimensions. ( )
z0
O
G
Pendule (S) x0 θ x1
y1
y0
Tournez la page S.V.P.
2
→ → → Le référentiel terrestreest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère), z, y(O, x. 00 0 0 Le référentielest associé à l’axe (). 0 → → →→ → On note) telqueréférentiel rapporté au repère orthonormé direct(O, x, y, z lez=z. Le 1 11 11 0 → → →→ → → repère (O,x ,y ,z ), rigidement lié au pendule (S), se déduit à chaque instant de), y, z(O, x1 1 10 0 0 par une rotation d’angleθautour de l’axeO z. 0 Le pendule (S) est mobile sans frottement autour de l’axe (). A l’instant t = 0, on écarte le pendule (S) de sa position d’équilibre stable d’un angleθ0puis on le lâche sans vitesse initiale. → →On noteR=X x+la réaction de l’axe (Y y) sur le pendule (S) et I le moment d’inertie du 1 1 pendule (S) autour de l’axe (). On notegx l’accélérationde la pesanteur. 0 1.1 Déterminerdansles coordonnées du centre de gravité G du pendule (S). 1 1.2 Exprimerla masse M du pendule (S) en fonction deµ, r et e. 1.3 Déterminerla vitesseV(GS /) dupoint G lié au pendule (S) par rapport à0 et 0 l’exprimer dans1. 1.4 Déterminer l’accélérationΓ(GS /)point G lié au pendule (S) par rapport à du0 et 0 l’exprimer dans1en fonction de r,θet de ses dérivées successives par rapport au temps.   d P(S /) 01.5 Exprimerdans1la résultante dynamiquedu pendule (S) par rapport à0.   dt   0 1.6 Déterminerdans1P sur le pendule (S). l’action de la pesanteur 1.7 Enoncerle théorème de la résultante dynamique et l’appliquer au pendule (S). 1.8 Endéduire les coordonnées X et Y de la réactionde l’axe () sur le pendule (S). → → 1.9 Déterminerdans1M (O)de l’action de la pesanteurP aupoint O.le moment P 1.10 Exprimerdans1le moment cinétiqueL (S/)du pendule (S) par rapport à0au point O 0 O en faisant l’hypothèse que l’opérateur d’inertie du pendule au point O est diagonal. 1.11 Enoncerle théorème du moment cinétique et l’appliquer au pendule (S) au point O.
3
1.12 Endéduire l’équation du mouvement du pendule (S). 1.13 Déterminerl’énergie cinétiqueT(S /) dupendule (S) dans son mouvement par rapport au 0 référentiel0. 1.14 Déterminerle travail Wextdes forces extérieures appliquées au pendule (S) entre une position quelconque du pendule définie par l’angleθet sa position d’équilibre stable. 1.15 Enoncerle théorème de la variation d’énergie cinétique dans le cas d’un solide unique indéformable. 1.16 Retrouverrapidement l’équation du mouvement du pendule (S). 1.17 Intégrercette équation dans le cas où l’angleθreste assez petit au cours du temps. 1.18 Déterminerdans ce cas la période T des oscillations en fonction de M, I, g et r. 1.19 Applicationnumérique :Calculer la période T des oscillations sachant que r = 50 mm, 3 52 2 e = 2 mm,µg = 9,81m.s., I = 1,9.10kg.m et= 7800 kg.m 1.20 Quelleest, en fonction de I, M et r, la longueur du pendule simple synchrone ? Exercice 2 : Etude d’un équilibre relatif Une tige OP, de longueur a, tourne autour du point O à vitesse angulaireωconstante dans un plan horizontal. Un point matériel M de masse m est mobile sans frottement dans ce plan horizontal. → → → Le référentiel terrestreest considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère, y(O, x), z. 0 00 0 Le référentielest fixe. 0 → → →→ → On note leréférentiel rapporté au repère orthonormé direct, z) tel(O, x, yquez=z. Le 1 11 11 0 → → →→ → → repère (O,x ,y ,z ), rigidement lié à la tige OP, se déduit à chaque instant de(O, x, y, z)par 1 1 10 0 0 une rotation d’angleθautour de l’axeO z. 0 → → →→ → On note, z, yque z) tel le(P, xréférentiel rapporté au repère orthonormé direct=Lez . 2 22 22 1 → → → repère (P,x ,y ,z )est tel quePx soitcolinéaire àPM etse déduit à chaque instant de 2 2 22 → → →(P, x, y, z) parune rotation d’angleαP z.autour de l’axe 1 1 11 → →→ → On noteOP=a x, PM=etr xω=θ. 1 2 → → Le point M est rappelé vers le point P par un ressort exerçant sur le point M une forceF= −.kr x 2 On néglige les actions de la pesanteur.
Tournez la page S.V.P.
y1
y0
y2
4
P
x2
M
x1
θ O x0 2.1 Déterminer la vitesseV(M /)du point M par rapport à0et l’exprimer dans2. 0 iner l’accélérat2.2 DétermionΓ(M /0) dupoint M par rapport à0 etl’exprimer dans2 en fonction de a, r,ω,αet de ses dérivées successives par rapport au temps. 2.3 Ecrire sous forme vectorielle le théorème de la résultante dynamique appliquée au point M. 2.4 Endéduire les 2 équations du mouvement du point M donnant les paramètres r etα en fonction deω. 2.5 Déterminer les équilibres relatifs M1et M2du point M par rapport à la tige OP, c’estàdire les solutions r etαconstantes. A quelles conditions existent ils ? 2.6 Sans démonstration, quels sont les équilibres stables ? Fin de l’énoncé