Partiel d'Integration et Analyse de Fourier
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Partiel d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 16 novembre 2004 DENSITE, RECURRENCE ET ERGODICITE Le sujet est constitue de trois problemes independants, et d'une section supplementaire qui etablit des liens entre ces trois problemes. Les questions sont de difficulte variable. La non-resolution d'une question n'est pas un obstacle a la resolution des questions suivantes. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion importante du sujet pour obtenir une tres bonne note. 1. Ensembles “fortement denses” On rappelle un resultat de topologie elementaire, qu'on ne demande pas de demontrer : Tout ouvert O de R est union au plus denombrable d'intervalles ouverts disjoints, appeles composantes connexes de O. Dans ce probleme, on souhaite partager l'intervalle [0, 1] en deux sous-ensembles mesurables disjoints A et A? tels que pour tout intervalle I ? [0, 1], non reduit a un point, les ensembles A ? I et A? ? I soient non denombrables. Combler les trous (de maniere concise) dans la construction suivante, presentee de maniere informelle : “On note C ? [0, 1] l'ensemble triadique de Cantor. Pour construire l'ensemble A, on commence par y introduire C ; puis on “remplit” chaque composante connexe de [0, 1]\C avec une copie de C (obtenue par dilatation/translation).
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- cours - matière potentielle : manuscrites
Partiel d'Integration et Analyse de Fourier Ecole normale superieure de Lyon 16 novembre 2004 DENSITE, RECURRENCE ET ERGODICITE Le sujet est constitue de trois problemes independants, et d'une section supplementaire qui etablit des liens entre ces trois problemes. Les questions sont de difficulte variable. La non-resolution d'une question n'est pas un obstacle a la resolution des questions suivantes. Les notes de cours manuscrites et imprimees sont autorisees. Il n'est pas necessaire de traiter une proportion importante du sujet pour obtenir une tres bonne note. 1. Ensembles “fortement denses” On rappelle un resultat de topologie elementaire, qu'on ne demande pas de demontrer : Tout ouvert O de R est union au plus denombrable d'intervalles ouverts disjoints, appeles composantes connexes de O. Dans ce probleme, on souhaite partager l'intervalle [0, 1] en deux sous-ensembles mesurables disjoints A et A? tels que pour tout intervalle I ? [0, 1], non reduit a un point, les ensembles A ? I et A? ? I soient non denombrables. Combler les trous (de maniere concise) dans la construction suivante, presentee de maniere informelle : “On note C ? [0, 1] l'ensemble triadique de Cantor. Pour construire l'ensemble A, on commence par y introduire C ; puis on “remplit” chaque composante connexe de [0, 1]\C avec une copie de C (obtenue par dilatation/translation).
- application mesurable
- maniere concise
- theoreme ergodique de birkhoff
- theoreme
- physique statistique
- tribu
- systeme dynamique en temps discret
- tribu engendree par les applications coordonnees
- stabilite du systeme solaire
- renforcement considerable du theoreme de poincare
Partield’Int´egrationetAnalysedeFourier
Ecolenormalesup´erieuredeLyon 16novembre2004
´ ´´ DENSITE, RECURRENCE ET ERGODICITE
Lesujetestconstitue´detroisprobl`emesind´ependants,etd’unesectionsuppl´ementaire quie´tablitdesliensentrecestroisproble`mes.Lesquestionssontdedifficult´evariable. Lanonre´solutiond’unequestionn’estpasunobstaclea`lar´esolutiondesquestions suivantes.Lesnotesdecoursmanuscritesetimprime´essontautorise´es.Iln’estpas n´ecessairedetraiteruneproportionimportantedusujetpourobtenirunetre`sbonne note.
1.Ensembles “fortement denses” Onrappelleunr´esultatdetopologiee´le´mentaire,qu’onnedemandepasded´emontrer: Tout ouvertOdeR,stnireavi’tnlbdebmarisjortsdouvellessteoinupuandsulone´ appele´scomposantesconnexesdeO. Dansceprobl`eme,onsouhaitepartagerl’intervalle[0,1] en deux sousensembles ′ mesurables disjointsAetAtels que pour tout intervalleI⊂[0,nu],1nrnodu´e`ait ′ point, les ensemblesA∩IetA∩Inentno´dnemorbba.sseoli Comblerlestrous(demani`ereconcise)danslaconstructionsuivante,pr´esente´e demani`ereinformelle:“OnnoteC⊂[0,1] l’ensemble triadique de Cantor. Pour construire l’ensembleA, on commence par y introduireC; puis on “remplit” chaque composante connexe de [0,1]\Cavec une copie deC(obtenue par dilatation/translation). Onrecommenceensuiteleproce´d´e(remplissagedestrous)a`l’infini.L’ensembleA ve´rifiealorslecahierdescharges;unargumentdethe´oriedelamesuremontreque ′ l’ensembleA= [0,1]\Aaussi.” R´ecurrenceetthe´orieergodique Pr´eambuleculturel:cl`elee,evd´opelxiduuene`ivisemfiadnlAepemtnedal physiquestatistiqued’unepart,delame´caniquec´elestemoderned’autrepart,mo tiventl’e´tudemath´ematiquedesyste`mesdynamiquesentempsgrand,avecl’espoir, entre autres, de justifier le second principe de la thermodynamique (la croissance de l’entropiedessyst`emesisole´s)oudevalider/r´efuterlastabilit´edusyst`emesolaire. Le physicienLudwig Boltzmannintroduisit alors l’euqiodrgeeesh`otyph, se lonlaquelleunsyst`emem´ecanique“visite”demanie`re“´egale”toutl’espacedes phases disponible; il avait pour but de troquer des moyennes temporelles, a priori impossibles`acalculer,contredesmoyennesspatiales.Sapremi`ereformulation(une trajectoiretypiqueremplitl’espacedesphases)e´taitgrossi`erementerrone´e;ilconjec turaensuitequ’unetrajectoiretypiquee´taitdensedansl’espacedesphases.C’estla naissance de lath´eoreuqreeiidog, qui aura une importance capitale en physique
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