Polytechnique X 2000 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 2000 FILIBRE Pc DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. *** Le but de ce problème est l’étude d’approximations discrètes de solutions d’bquations différentielles avec conditions aux extrémités de l’intervalle de définition. Premihre partie Soit n un entier fixé, n 2 1. On note Mn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles à n lignes, et 1 la matrice identité à n lignes. On note Xij, 1 5 i 5 n, 1 5 j 5 n, les coefficients d’une matrice X E Mn(R). On identifie un vecteur V de R”, de composantes VI,. . . , v, dans la base canonique, à la matrice colonne (’:) . On désigne par II . II la norme euclidienne de Rn. Vn 1. Pour toute matrice X E Mn(R), on pose a) Montrer que N est une norme sur Mn(R). b) Montrer que, pour toutes matrices X, Y E Mn(R), N(XY) 5 N(X)N(Y) Cette propriété est-elle vérifiée si l’on remplace la norme N sur Mn(R) par la norme N, définie par N,(X) = sup IXijl ‘? l

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• Publié par: shura
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