Polytechnique X 2002 deuxieme composition de mathematiques classe prepa pc

ÉCOLEPOLYTECHNIQUEÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUEETDECHIMIEINDUSTRIELLESCONCOURSD’ADMISSION2002 FILIÈREPCDEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Ceproblèmeapourbutprincipall’étudedescoefficientsdiagonauxdesdiversesmatricessemblablesàunematricedonnée.Ondésignepar nunentier 2,parM (R)l’espacedesmatricesàcoefficientsréels,à nnligneset ncolonnes,etpar Ilamatriceidentité;onappellescalaireslesmatricesdelaformeλI où λestunréel.Onrappellequedeuxmatrices Aet Bsontditessemblables s’ilexiste−1unematriceinversible Qvérifiant B = QAQ ,c’est-à-diresi Aet Breprésententunmêmen nendomorphismedeR dansdeuxbasesdeR .Premièrepartie1.Démontrerlesassertionssuivantes:n,nonnuletnonvecteura)Siunematrice Aestnonscalaire,ilexisteunvecteur XdeRproprepour A.b)Soit A ∈ M (R),iet j∈{1,...,n}.Ilexisteunematrice Bsemblableà Atellequenb = a ,b = a ,b = a pourtout k = i, j .i,i j,j j,j i,i k,k k,kDeuxièmepartie2.Onsedonneunematrice Ade M (R)detracenulleetonseproposededémontrerqu’ilnexisteunematrice Bsemblableà Aayanttoussescoefficientsdiagonauxnuls.na) Montrer que si A est non nulle, il existe une base (X ,...,X ) de R telle que1 nAX = X.1 2b)Conclureenprocédantparrécurrencesur n.13.Applicationsnumériques.Danschacundescasconsidérés,onindiqueraunematrice Brépondantàlaquestionetunebasequiluicorrespond.a) n=2,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,−1.b) n=3,Aestdiagonaleaveccoefficientsdiagonaux 1,0,−1.4.Soit ...