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Première composition de Mathématiques 2002 Classe Prepa PC Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles

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Examen du Supérieur Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles. Sujet de Première composition de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2002
FILIÈREPC
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.   
L’objet de ce problème est l’étude de systèmes régis par une équation différentielle dépendant d’une donnée appelée « commande » et la recherche de « commandes optimales ».
p Pour toutpN, on note ∙ la norme euclidienne surRet(∙|∙)le produit scalaire p euclidien. Latransposéed’une matrice réelleMest notéeM. On identifie un élément deR avec une matrice àplignes et une colonne.
Dans ce problème, on appelle fonctionbien continue par morceauxsur un intervalle[0, T]de Rtoute fonctionϕcontinue par morceaux, continue à gauche sur[0, T]et continue à droite en 0, c’est-à-dire telle qu’il existe un nombre fini de points,t0= 0< t1. .< .< tk1< tk=Ttels queϕest continue sur[0, t1],]t1, t2], . . .,]tk2, tk1],]tk1, T]et quelimϕ(t)existe pour ttt>t= 1,2, . . ., k1.
Préliminaires
SoitMpl’espace vectoriel des matrices carrées réelles àplignes. PourM∈ Mp, on pose
M X|M|= sup. XRXp X=0
1.a)Vérifier queM∈ Mp|M| ∈Rest une norme surMp.
b)Montrer que, pour toutes matricesM, N∈ Mp, |M N||M| |N|. n 1 k 2.a)PournN, on poseSn(M) =M. Montrer que la suite(Sn(M))nNest k! k=0 convergente dans l’espace vectorielMpmuni de la norme| ∙ |.
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On pose 1 M k e= limSn(M) =M . n+k! k=0 tM b)Montrer que la fonctiontR→e∈ Mpest continue, dérivable et que d tM tM e=.M e dt d d tMtM(s+t)MtM c)Calculer(e e)et, poursR,(e e). En déduire que dtdt (s+t)M sMtM e=e e .
Première partie
SoitTun réel>0et soitA∈ Mp. SoitBune fonction bien continue par morceaux sur p p [0, T]à valeurs dansR, et soitX0R. On pose, pour toutt[0, T], t tA(ts)A X(t) =e X0+e B(s)ds . 0
3.a)On suppose queBest continue. Montrer quet→X(t)est l’unique fonction de classe 1p Csur[0, T]à valeurs dansRtelle queX(0) =X0et, pour toutt[0, T], d X(t) =A X(t) +B(t).(1) dt On suppose maintenant et dans toute la suite du problème queBest seulement bien continue par morceaux.
b)Montrer quet→X(t)est l’unique fonction continue, dérivable en tout point oùBest 1 continue, et de classeCpar morceaux sur[0, T]telle queX(0) =X0et que la condition (1) soit satisfaite en tout point oùXest dérivable.Par convention, on dira encore queXest solution de l’équation différentielle (1) sur[0, T].
SoitqNtel queqpet soitKune matrice réelle àplignes etqcolonnes. On désigne q parUl’espace vectoriel des fonctions bien continues par morceaux sur[0, T]à valeurs dansR. A toute fonctionU∈ U, on associe l’équation différentielle sur[0, T] d X(t) =A X(t) +K U(t),(2) dt p et l’on dit queUest lacommande du systèmedécrit par l’équation (2). On fixeX0R. On désigne parXUl’unique solution de (2) telle queXU(0) =X0.
4.Montrer que, pour toutV∈ U, il existeYVtel que, pour toutU∈ Uet toutλR, on aitXU+λVXU=λYV. Préciser l’équation différentielle et la condition initiale satisfaites par YV.
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Soientα, β, γdes réels0. On considère la fonctionC:U →Rdéfinie par T  2 22 C(U) =αXU(t)+βU(t)dt+γXU(T), 0 modélisant un coût que l’on cherche à rendre minimal. SoientU, V∈ UetλR. 5.Montrer queC(U+λV)− C(U)est un polynôme du second degré enλet donner des 2 expressions des coefficients de ce polynôme. Que peut-on dire du signe du coefficient deλ? p1 6.a)Montrer qu’il existe une unique fonctionZU: [0, T]R, de classeC, telle que ZU(T) = 2γ XU(T)et d ZU(t) =A ZU(t)2α XU(t). dt  T  b)ExprimerZU(T)|YV(T2) +α XU(t)|YV(t) dtpar une intégrale de0àTfai-0 sant intervenirK, VetZUrappelle que pour des fonctions. OnZetYà valeurs vectorielles,    d dZdY Z(t)Y(t() =t)Y(t) +Z(t) (t).  dtdtdt 7.a)Déduire des questions précédentes que T  d C(U+λV) =K ZU(t) + 2βU(t)V(t) dt .   dλλ=0 0 b)Montrer queU0∈ Uvérifie la conditionC(U0) = infU∈UC(U), si et seulement si, t[0, T], KZU0(t) + 2β U0(t) = 0.
Deuxième partie
On conserve les notations de la première partie.
q SoitJun intervalle fermé et borné deR, non réduit à un point, et soitJle cube qu’il définit q q dansR. On considère l’ensembleUdes commandesU∈ Utelles quet[0, T], U(t)J.
8.a)L’ensembleUest-il un sous-espace vectoriel deU? “ “ b)Montrer que siU, V∈ U, λ[0,1], alorsU+λ(VU)∈ U. 9.Montrer queU0∈ Uvérifie la condition C(U0inf) =C(U) U∈ Usi et seulement si,t[0, T],V∈ U,   U0(t)K ZU0(t) + 2β U0(t)V(t) 0.
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Dans l’application qui suit, on prendp= 2etq= 1. On choisitJ= [a, a], oùa >0. Soit kune constante réelle,k >0.
Sit→x(t)est une fonction deux fois dérivable, on pose 2 dxdx x˙ =, x¨ =. 2 dtdt 1 Pour toute fonctionu∈ U, on étudie les fonctionst→x(t)de[0, T]dansR, de classeC, 2 et de classeCpar morceaux telles que¨x(t) =k u(t)en tout pointt[0, T]¨xest définie.
10.a)Écrire ce problème sous la forme (2) avec des matricesAetKque l’on déterminera. Soientx0etv0des nombres réels. Montrer qu’il existe une unique fonctionxusolution de ce problème telle quexu(0) =x0et˙xu(0) =v0.    2 2 b)Trouverα, β, γpour queC(u) =xu(T) +x˙u(T). Ces valeurs deα, β, γsont choisies dans toute la suite du problème.
2 c)Montrer queZuest une fonction affine detà valeurs dansR.
11.a)Soitu0∈ Utel quexu0(T) = 0etx˙u0(T) = 0. Montrer queC(u0inf) =C(u). u∈ U
b)Soitu0∈ Utel que (i)xu0(T)et˙xu0(T);ne sont pas tous deux nuls (ii)C(u0) =infC(u). u∈ UMontrer que la fonctionu0est constante par morceaux. 2  T kaT 12.On suppose quex0= 1 +1 +,v0=. 2 22 a)On considèreu0(t)telle que : T T u0(t) =asi0t, u0(t) =asi< tT . 2 2 Calculerxu0(T)etx˙u0(T). b)Montrer queC(u0) =infC(u). u∈ U1 c)On considère le cas oùk a=etT= 4. La fonctionu0est-elle alors l’unique fonction 4 deUtelle queC(u0) =infC(u)? u∈ U∗ ∗ 4