1Pr´esentationdujeu. 1.1 Lesre`gles du jeu. Letournoiest un jeu comportant une suite de manches (appele´esduels) opposant deux joueurs, jamais plus.Les joueurs vont entrer en jeu successivement, tant qu’aucun d’entre euxn’aurae´te´d´eclare´vainqueur,etformentainsiunesuite(J0,J1, . . .) aussi longue qu’il faudra, infinie de joueurs n) cequinousconduit`aconsid´ererunesuiteote´e(Jn n∈N. Le premier duel opposeJ0etJ1, le vainqueur reste en jeu et se voit opposerJ2qui entre pour le deuxi`emeduel.Plusg´ene´ralement,lenie`me duel (n≥2) oppose le joueurJn, qui entre alors en jeu,auvainqueurduduelpr´ece´dent,leperdantquittantlejeu. On convient enfin que le premier joueur qui remporteNdus,elecn´saesmerictne´snotucesetfi,s de´clare´ vainqueur et que le jeu prend fin.Nutse’aale`x´rfiientneomni´sgeavcn,euaal`a2,et valable pour tout le de´roulement du tournoi. Lebutdeceproble`meestderendrecomptedecetypedejeuenenproposantdiversesmod´elisations probabilistes.Ons’int´eresseraainsiplusparticulie`rementa`ladure´edujeu,c’esta`direaunom bre de duels ayant eu lieu avant la proclamation du vainqueur.
1.2Lesre`glescommunesauxdiff´erentesmod´elisationsal´eatoires. Lasuccessiondesduelsenparfaitementd´ecritesionconnait,pourchacun,lesnum´erosdes participantsetlenum´erodugagnant,celatantquelejeucontinue,c’esta`diretantqu’aucun desjoueursn’ae´t´ed´eclar´evainqueur.Onsupposeraquechaqueduelestunjeudehasard,on conside`rera ainsi lenreoiat´erpueevlamoemnue´emeduelci`En, dont on observera les re´sultats possibles. Onpr´esupposera,sanscherchera`l’expliciter,l’existenced’unespacedeprobabilit´e(Ω,A,P) permettantdemode´liserlejeuetons’attachera`ade´crirel’universdespossibles,c’est`adireles issuesdesdiffe´rentese´preuves,ainsiquelamani`eredontonaffectedesprobabilite´sauxre´sultats observ´es.Lesmod`elespropos´esdevrontrespecterlesre`glessuivantes: 1.Lepremierduel:laprobabilit´equelere´sultatdeE1soit 1 (J1est le gagnant du premier duel) estpu`o,pest un e´le´ment de]0,1[lbe`peoruoltnatsx´edfictnateva0ltsu´eat,lme´eer laprobabilit´e(1−p). 2. Lesduels successifs : (a) Pourn≥2, l’e´preuveEn, si elle a lieu, ne depend de celles qui l’on pre´ce´de´es que parlenum´erodujoueuroppos´e`aJni.quiaremport´eleduelpr´ec´e(deenctu)l ultat estnt´eg`o)eus( ) (b)Laprobabilit´epourJnde remporter ce duel (le re´sale a`pn,pk k≥2 est une suite d’e´le´ments de]0,1[e´etantvstoppos´qriuuleil,jeuouecevaenuqniarueu probabilite´ 1−pn. On admettra par ailleurs que, pour toute suite(An)ntoitdsetlon´earoinunsjditsenemenv´´e’d n∈N estdeprobabilit´e1,ilexisteunevariableal´eatoireX`asnasdurlevaNve´rifiant : ∀n∈N,P[X=n] =P(An)
2.1R´esultat1. (xn)et(yn)rmtepoesuixtdseu`natessofiire:tnaitis´vsf n∈Nn∈N xn∼yn n→+∞ 1. Justifier, pour toutεstrictement positif, l’existence d’un entier naturel non nuln0tel que pour toutnse´puueir´uoraleg`an0on ait : n nn0−1n ∑ ∑∑ ∑ xk−yk≤(xk−yk) +εxk k=0k=0k=0k=n0 2.Ende´duireque,silas´eriedetermeg´en´eralxnest divergente, on a : n n ∑ ∑ xk∼yk n→+∞ k=0k=0 2.2 Re´sultat2. 1.(u)est un n n∈Nre´nlamrete´geers´deieeqlllaueisitsfetetmrseopesuite`aunsoit convergente. 1.a.Montrerqu’onde´finitunesuiteder´eelsparlarelation: +∞ ∀n∈N,vn=uk ∑ k=n+1 Quelle est la nature de cette suite ? 1.b. Justifier pour tout entier naturelnnon nul : n n−1 ∑ ∑ kuk=vk−nvn k=1k=0 1.c. Montrerque si la se´rie de terme ge´ne´ralvnente,alotconvergeiedetmrsral´srere´ne´gelase nunest convergente. 1.d.Montrerquesilas´eriedetermeg´ene´ralnundetereem´gnee´arleoctsrevnntgeloealarsitsu nvnconverge vers 0. Indication :tnemrpa,lse`ova’juirifiste,´eilutOpnourra´eventuellealersireno:alit ∗ ∑ ∀n∈N,vn−1= (vk−1−vk) k≥n pour majorer l’expressionnvn−1, lorsquenest un entier naturel non nul. 1.e.End´eduirequelesse´riesdetermesg´en´erauxrespectifsnunetvnn´taulimtsonsnoctneme vergentesetdemˆemesomme. 2. Danscette question,Xevariableal´eato´dsegiennu´teepedacsplibibaronfie´derienurusei (Ω,A,P)prenant ses valeurs dansNecisesp´eranadmetune’uqeellee´rpde`ceceduieq´e.Dirdu etseulementsilas´eriedetermege´ne´ralP[X>n]est convergente et qu’on a alors l’e´galite´ : +∞ E[X] =P[X>n] ∑ n=0
2
2.3 Re´sultat3. n (an)tareti`eenusseutelleifstositmesp`itneeire´saleuqeer∑anxadmette un rayon de n∈N convergenceRstrictement positif. On note : n ∑ ∀x∈]−R,R[,f(x) =anx n≥0 1. Montrer quef(x)admet une limite finie lorsquextend versRsur[0,R[si et seulement sifest majore´e sur[0,R[. Onsupposedanslasuitedecettepartiequel’unedecesconditions´equivalentesestr´ealise´eet on noteLla limite. 2.a. Montrer que, pour toutnentier naturel : n k akR≤L ∑ k=0 n 2.b.End´eduirequelase´riedetermege´ne´ralanRest convergente. 2.c.Montrerquelas´erieentie`reestnormalementconvergentesur[−R,R]uq:e.nE´ddeiuer n anR=limf(x) ∑− x→R n≥0
3Premi`eremode´lisation:lecasparticulierN=2. Danscettesectiononobservelasuitedesnume´rosdesdiff´erentsvainqueurssuccessifs.L’univers des possibles est alors l’ensemble des listes (e´ventuellement infinies) repre´sentant les nume´ros des joueurs vainqueurs aux diffe´rents combats.Ainsi :(0,2,3,3)mocrpe´resenteraunjeude4 batsremport´essuccessivementparJ0,J2,J3etJ3qui est alors de´clare´ gagnant du tournoi, ce qui met fin a` celuici. On noteDn, pournmuiosne´ane´eev’´,la2l`ga:tnemeissu`al’ˆeterra’suejel dunie`me duel. 1.a. ExpliciterD2a` l’aide de la mode´lisation propose´e. 1.b.Plusg´ene´ralement,expliciterDn+1lorsquenl`ga.a2estutnenareiiomue´sn 2. Dans cette question on suppose que, pour toutn≥2,pnal`ga´estep. S ifier queDest 2.a. CalculerP(Dn)pourna`.2´Vreor´ugelaup´erieusn≥2nun e´ve´nement de probabilite´1.Interpr´etercer´esultat. 2.b.Onpeutalorsconsid´ererunevariableale´atoireTe´gale au nombre de duels qui ont effective menteulieulorsquelejeus’arreˆte.Calculer,apr`esavoirjustifie´leursexistences,sonesp´erance et sa variance. 3.Onrevientaucasg´ene´ralou`,pourtoutiomni´sgeal`a2,uapiestunr´edtneee´leme´l]0,1[. On pose pour toutnlaa`´sgeomni2:ua n βn=pi ∏ i=2 n Exprimer, pournniomua2,`aalegs´P(D)en fonction de). E ∑k=2kla suite(βk k≥2´endirduueeq S n≥2Dnse´nute´veemenstues1eitniselemprobntdeit´eabilβntend vers 0 lorsquentend vers l’infini. Lorsquecetteconditionestv´erifi´eeonde´finiraTcquestionomme`alap,aresopnote.b.2rou n≥2 : un=βn−βn+1 3