Théorème de Bolzano-Weierstrass

Costantini

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Théorème de Bolzano-Weierstrass

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• Publié par: porthos
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THÉORÈME DE BOLZANO WEIERSTRASS

Soit (u n ) une suitebornéede réels. Alors, on peut extraire de (u n ) une soussuite convergente. (Variante : toute suite bornée de réels admet une valeur d'adhérence) Démonstration : L'idée générale : Notonsa 0 (resp.b 0 ) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble {u n ,n∈}. (Existent car (u n ) bornée) PosonsI 0 =[a 0 ,b 0 ] etc 0 le centre deI 0 . L'un, au moins, des deux intervalles [a 0 ,c 0 ] et [c 0 ,b 0 ] contient uneinfinité de termesla suite ( deu n ). (On a bien dit une infinité de termes ; ce n'est pas forcément une infinité de valeurs) NotonsI 1 cet intervalle etc 1 son centre. On réitère le procédé cidessus avec le segmentI 1 . On construit ainsi une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. L'intersection de tous ces segments est donc un certain réell. En outre, par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite (u n ). On peut donc construire une suite extraite en choisissant à chaque fois l'un de ces termes

et cette suite converge nécessairement versl.

Mise en forme :

Soienta 0 =inf{u n ,n∈} etb 0 =sup{u n ,n∈}. Ainsi :

∀n∈,a 0 u n b 0 Pour tous réelsαetβtels quea 0 α<βb 0 , notons : N(α,β)={n∈|αu n β} (N(α,β) est l'ensemble desindicesnpour lesquelsαu n β) a+b 0 0 On sait queN(a 0 ,b 0 ) est infini. Posonsc 0 = . 2 CommeN(a 0 ,b 0 )=N(a 0 ,c 0 )∪N(c 0 ,b 0 ), l'un, au moins, des deux ensemblesN(a 0 ,c 0 ) ouN(c 0 ,b 0 ) est aussi infini. SiN(a 0 ,c 0 ) est infini alors on posea 1 =a 0 etb 1 =c 0 . SiN(c 0 ,b 0 ) est infini alors on posea 1 =c 0 etb 1 =b 0 . Le segment [a 1 ,b 1 ] ainsi construit est ainsi tel queN(a 1 ,b 1 ) soit infini. a+b n n Supposons maintenant [a n ,b n ] construit tel queN(a n ,b n ) soit infini. Posonsc n = . 2 CommeN(a n ,b n )=N(a n ,c n )∪N(c n ,b n ), l'un, au moins, des deux ensemblesN(a n ,c n ) ouN(c n ,b n ) est infini. SiN(a n ,c n ) est infini alors on posea n+1 =a n etb n+1 =c n . SiN(c n ,b n ) est infini alors on posea n+1 =c n etb n+1 =b n . On a ainsi construit, par récurrence, une suite ([a n ,b n ]) de segments emboîtés : [a 0 ,b 0 ]⊃[a 1 ,b 1 ]⊃...⊃[a n ,b n ]⊃... b−a 0 0 De plus, par construction, la longueur de [a n ,b n .] est n 2

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