Théorème de Bolzano-Weierstrass

icon

2

pages

icon

Français

icon

Documents

Écrit par

Publié par

Lire un extrait
Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
icon

2

pages

icon

Français

icon

Ebook

Lire un extrait
Lire un extrait

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne En savoir plus

Théorème de Bolzano-Weierstrass
Voir Alternate Text

Publié par

Nombre de lectures

329

Langue

Français

Énoncé :
THÉORÈME DE BOLZANO WEIERSTRASS
Soit (un) une suitebornéede réels. Alors, on peut extraire de (un) une soussuite convergente. (Variante : toute suite bornée de réels admet une valeur d'adhérence) Démonstration : L'idée générale : Notonsa0(resp.b0) la borne inférieure (resp. supérieure) de l'ensemble {un,n}. (Existent car (un) bornée) PosonsI0=[a0,b0] etc0le centre deI0. L'un, au moins, des deux intervalles [a0,c0] et [c0,b0] contient uneinfinité de termesla suite ( deun). (On a bien dit une infinité de termes ; ce n'est pas forcément une infinité de valeurs) NotonsI1cet intervalle etc1son centre. On réitère le procédé cidessus avec le segmentI1. On construit ainsi une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. L'intersection de tous ces segments est donc un certain réell. En outre, par construction, chacun de ces segments contient au moins un terme de la suite (un). On peut donc construire une suite extraite en choisissant à chaque fois l'un de ces termes
et cette suite converge nécessairement versl.
Mise en forme :
Soienta0=inf{un,n} etb0=sup{un,n}. Ainsi :
n,a0unb0 Pour tous réelsαetβtels quea0α<βb0, notons : N(α,β)={n|αunβ} (N(α,β) est l'ensemble desindicesnpour lesquelsαunβ) a+b 0 0 On sait queN(a0,b0) est infini. Posonsc0= . 2 CommeN(a0,b0)=N(a0,c0)N(c0,b0), l'un, au moins, des deux ensemblesN(a0,c0) ouN(c0,b0) est aussi infini. SiN(a0,c0) est infini alors on posea1=a0etb1=c0. SiN(c0,b0) est infini alors on posea1=c0etb1=b0. Le segment [a1,b1] ainsi construit est ainsi tel queN(a1,b1) soit infini. a+b n n Supposons maintenant [an,bn] construit tel queN(an,bn) soit infini. Posonscn= . 2 CommeN(an,bn)=N(an,cn)N(cn,bn), l'un, au moins, des deux ensemblesN(an,cn) ouN(cn,bn) est infini. SiN(an,cn) est infini alors on posean+1=anetbn+1=cn. SiN(cn,bn) est infini alors on posean+1=cnetbn+1=bn. On a ainsi construit, par récurrence, une suite ([an,bn]) de segments emboîtés : [a0,b0][a1,b1]...[an,bn]... ba 0 0 De plus, par construction, la longueur de [an,bn.] est n 2
Théorème de BolzanoWeierstrass
Page1
G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/
Voir Alternate Text
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents
Alternate Text