THEOREME DE CESARO

Costantini

Description

THEOREME DE CESARO

Sujets

• Documents
• Education
• Annales d’examens et concours

Informations

• Publié par: porthos
• Nombre de lectures: 5 420
• Langue: Français

Extrait

THÉORÈMES DE CESARO

Théorème 1version "suite convergente"

Soit (u n ) une suite de réels convergeant vers un réell.

* Alors la suite (v n ) définie, pourn∈, par :

converge également versl.

Démonstration :

∗ Fixonsε∈ + .

n 1 v n =u ∑ k n k=1

Autrement dit, le théorème de Cesàro

affirme que la convergence entraîne la

convergence en moyenne.

(On dit que (u n ) converge en moyenne verslou converge au sens de Cesàro)

Comme (u n ) converge versl:

Pourn>N, on a :

∃N∈,∀k∈, (kN⇒ |u k −l|ε)

n 1 v n −l= (u−l) ∑ k n k=1

n Nn 1 11 |v n −l| |u−l| |u−l|+ |u−l| ∑ ∑∑ k kk n nn k=1k=1k=N+1 N 1 PosonsA n = |u−l| . ∑ k n k=1 * Il est clairA n  0donc :∃N'∈,∀n∈, (nN'⇒ |A n |ε) → n→∞ Pourn> max(N,N'), on a alors : n 1n−N |v n −l|A n + |u−l|ε+ε2ε ∑ k n n k=N+1 Ce qui prouve bien que (v n ) converge versl. Remarque : Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème de Cesàro est fausse. Voici un contreexemple : n u n =(−1) n (−1) (u n ) diverge tandis que la suite (v n ) définie parv n = convergevers 0. n Théorème 2version "suite divergente vers+∞" Soit (u n ) une suite divergente vers+∞. n * 1 Alors la suite (v n ) définie, pourn∈, par :v n =u ∑ k n k=1

diverge également vers+∞.

Théorème de Cesàro

Page1

G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/