THEOREME DE CESARO

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THEOREME DE CESARO

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THÉORÈMES DE CESARO

Théorème 1version "suite convergente"

Soit (un) une suite de réels convergeant vers un réell.

* Alors la suite (vn) définie, pourn∈, par :

converge également versl.

Démonstration :

∗ Fixonsε∈+.

n 1 vn=u ∑ k n k=1

Autrement dit, le théorème de Cesàro

affirme que la convergence entraîne la

convergence en moyenne.

(On dit que (un) converge en moyenne verslou converge au sens de Cesàro)

Comme (un) converge versl:

Pourn>N, on a :

∃N∈,∀k∈, (kN⇒ |uk−l|ε)

n 1 vn−l= (u−l) ∑ k n k=1

n Nn 1 11 |vn−l| |u−l| |u−l|+ |u−l| ∑ ∑∑ k kk n nn k=1k=1k=N+1 N 1 PosonsAn= |u−l| . ∑ k n k=1 * Il est clairAn 0donc :∃N'∈,∀n∈, (nN'⇒ |An|ε) → n→∞ Pourn> max(N,N'), on a alors : n 1n−N |vn−l|An+ |u−l|ε+ε2ε ∑ k n n k=N+1 Ce qui prouve bien que (vn) converge versl. Remarque : Une suite qui converge en moyenne ne converge pas nécessairement. Autrement dit, la réciproque du théorème de Cesàro est fausse. Voici un contreexemple : n un=(−1) n (−1) (un) diverge tandis que la suite (vn) définie parvn= convergevers 0. n Théorème 2version "suite divergente vers+∞" Soit (un) une suite divergente vers+∞. n *1 Alors la suite (vn) définie, pourn∈, par :vn=u ∑ k n k=1

diverge également vers+∞.

Théorème de Cesàro

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G. COSTANTINIhttp://bacamaths.net/

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