UNIVERSITE D ORLEANS CAPES
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Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
UNIVERSITE D'ORLEANS CAPES 2007-2008 DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SEMAINE 16 INTEGRALES GENERALISEES (II) 1 - Nature de l'integrale generalisee ∫ 1 0 sin( 1 t ) dt. 2 - Soit f une fonction continue de IR dans lui-meme admettant des limites l et m en ?∞ et +∞ respectivement. Montrer que ∫ +∞ ?∞ (f(x + 1)? f(x))dx = m? l. 3 - Montrer que l'integrale generalisee ∫ +∞ 0 sin t t dt est semi-convergente. Montrer qu'elle n'est pas absolument convergente en etudiant la serie de terme general un = ∫ (n+1)pi npi | sin t t |dt. Etudier la convergence de l'integrale ∫ +∞ 0 sin t2dt. Est-elle absolument convergente ? 4 - Soit f : x 7? sin x√ x + sin 2 x x . Montrer que f(x) ? x?+∞ sin x√ x , et que l'integrale ∫ +∞ 1 sin x√ x dx converge bien que ∫ +∞ 1 f(x) dx soit divergente. 5 - Soit f : [a,+∞[? IR une fonction continue telle que l'integrale generalisee ∫ +∞ a f(x) dx converge.

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´ ´ UNIVERSITE D’ORLEANS ´ ´ DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
´ ´´ ´ INTEGRALES GENERALISEES (II)
R 1 1 1 -e´eis´nrelasin()eduratNe´tnilee´gelargdt. 0t
CAPES 2007-2008 SEMAINE 16
2 -Soitfedlsattnmdtemeaeuesimitocnonitnofenitcnlunsmˆi-deuedaIRletmen−∞ R +et +respectivement. Montrerque (f(x+ 1)f(x))dx=ml. −∞ R +sint 3 -oMertneuqre´aril´seelint´egraleg´endtMontrer qu’elleest semi-convergente. 0t R (n+1)π sint nestpasabsolumentconvergenteene´tudiantlas´eriedetermeg´ene´ralun=| |dt. nπ t R +2 ´ Etudierlaconvergencedelinte´gralesint dt. Est-elle absolument convergente ? 0 2R +sinxsinxsinxsinx √ √4 -Soitf:x7→+ .Montrer quef(x)uelint´egraleqte,dx x xx1x x+R +converge bien quef(x)dxsoit divergente. 1 R +5 -Soitf: [a,+[leuqelleteunitn´eeng´leraegt´inaril´seeonconctinefoIRuf(x)dx a converge. Montrerque sifadmet une limitelen +, alorsl= 0. Donnerdesexempleso`ulinte´graleg´en´eralise´econvergesansquefn’admette de limite en +. 6 -Soitf: [0,+[IR+esie´relae´´negalgr´entielquelletetnassiorcecnitnooctnnieu´dunefo R +f(x)dxconverge. 0 a) Montrer quelimxf(x) = 0. x+b) Montrer queg:x7→x(f(x)f(x)c)oanuvneergient´egra+l1etnseru0[,+[ et R +calculerg(x)dx. 0 ´ 7 -nt´edesiencevergserglalreinocadutE Z ZZ +++costsint sint t dt ,(e1)dt ,ln(1 +)dt 0t+ cost0 1t Z Z++sinx xcosx dx ,sindx. cosx+xlnx x+ sinx 2 1 1
8 -Soitf: [0,+[elleleuqitnoteunegaln´´entigr´eerelasie´IRunctinefofirononunect´mme R +f(x)dxqueconverge. Montrerftend vers 0 en +. 0 9 -Soitfetgdes fonctions sur [0,+[ telles que R x fest continue et la fonctionx7→f(t)dtortbes0r[sueen´,+[, 0 1 gestC´d,dnevsre0+necroissante,ette. R +Montrerquelint´egralef(t)g(t)dtest convergente. 0 R +10 -Soitf: [1,+[IR continue telle quef(t)dtveoncleint´egraerqreulgr.eoMtn 1 R +f(t) dtconverge. 1t R +at 11 -Soitf: [0,+[IR continue telle quef(t)e dtge(onveroc`uaIR), montrer 0 R +xt que pour toutx > aell,t´inraegf(t)e dtconverge. 0 12 -a)Nauteredistne´rglaee´silare´ne´gses Z +n sinxcosx dxou`α >0, nIN. α x 1 b)D´eterminerlanaturedelinte´grale(´eventuellementselonlesvaleursdeα >0) : Z +sinx dx . α x+ cosx 0
13 -Soienta, b´reesl0dse< a < b, etfur[0less´eelursra`euelavocnonitnfonetincu,+[ R +f(t) tellequelinte´gralege´n´eralise´edtconverge. 1t R R +f(bt)f(at)ax f(t) 1) Montrer quepourx >0, dt=dt. x tbx t R +f(bt)f(at) 2)Ende´duirelexistencedelint´egraledtApplication au caset la calculer. 0t o`ufest la fonction exponentielle.
14 -leraegt´ine-ri´e.raiaossnoCpm Soitf: IR+IR+nuitivnposctioefonet.ssnarciodee´ R +a)Montrerquelase´riedetermeg´en´eralf(nee´e)ltitne´graleg´en´eralisf(t)dtsont de 0 mˆemenature. R n b) Montrer que la suite (xn)d´eparenixn=Snf(t)dtc`ougr(enoevSnest la somme 0 R n partielledelase´riedetermeg´en´eralf(nsee´irdeteisecttna)),eriv,ogeSnf(t)dt. 0 n+15 -pAtnede´ce,exeedelepr´rciceulrlpqihtdomae´ 1 laerditugeernvcoe´ruopermeg´en´eralcndelesae´irdeteun= etchercher un n e´quivalentdelasommepartielle, ´edn(tdelalenviuqe´nurenimretn!) quandntend vers +, 2 2 dunerqu´ete´einrmnl(e+)2lavidtne∙ ∙ ∙+ (lnn) . 2
16 -Soientfetgdes fonctions positives continues sur [a, b[ telles quef(x)g(x). Montrer xb R R b b quelesinte´gralesf(t)dtetg(t)dttureenetaˆmmetnedos a a R R b b a) si elles convergent,f(t)dtg(t)dt, x x xb R R x x b) si elles divergent,f(t)dtg(t)dt. a a xb R2 +t 17 -leuqrertrge´tnialeonMe dtarveeelgqoecivunuctr´enhtcnreeehdempelsetntsi 0 R2 +t e dtquandx+. x R2R x x t dt D´eterminerune´quivalentsimpledee dtet quandxtend vers +. 0 2lnt Z Z ++1 xsinx ´ 18 -desituregralnt´ese:erdinalatuEe dxdx ,. 2 3 0(1 +xsinx)0 19 -Soitf: [0,+[IR+unefonctinoopisitevoctnnid´ueroecsaise.nttnoMqrereleus R R ++2 inte´gralesf(x) sinx dxetf(x)dx.tureemanmeeˆnodts 0 0 20 -Soientfetgdes fonctions continues IRIRon.Mes´eis´en´eralegralesgliseni´trtreuqse R RR +++2 2 (f(t))dtet (g(t))dtraeglea,oltnseni´tsrlsontergeconvf(t)g(t)dtest −∞ −∞−∞ convergente et on a q q R RR +++2 2 f(t)g(t)dt(f(t))dt(g(t))dt. −∞ −∞−∞ R +1 21 -Soitf: IRtinconuClofenCllteueeq´tgelniarel|f(x)|dxconverge. Montrer −∞ que: Z +iξx lime f(x)dx= 0 . ξ+−∞
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