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Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Description

Niveau: Supérieur

  • cours - matière potentielle : is

  • cours - matière potentielle : ipe


Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2010 Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 4 pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d'IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatrices autorisées. Ex 1. (3 points) On note (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ) et on pose Sn = ∑n k=1 Xk pour tout n ≥ 1. On suppose vérifiées les conditions suivantes. i) Il existe une variable aléatoire intégrable Z telle que pour tout k ≥ 1, |Xk| ≤ Z p.s. ii) Les Xk ont même espérance. iii) Sn n converge presque-sûrement quand n tend vers l'infini vers un réel a. 1) Montrez que la convergence de Sn n vers a a lieu aussi au sens L1, autrement dit : E ? ? ? ? Sn n ? a ? ? ? ? ?????n?+∞ 0. 2) En déduire que a = EX1.

  • naire bilingue pour étudiants étrangers

  • temps d'attente

  • horloge h0

  • éclair pendant l'intervalle

  • u0 mesurable par l'horloge h0

  • liaison aérienne

  • table de la loi normale


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Langue Français

Exrait

IS Math314
Université U.F.R. de
des Sciences et Mathématiques
Technologies de Lille Pures et Appliquées
Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures.
Année 2010
– Cesujet comporte4pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d’IS, diction-naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatricesautorisées.
Ex 1.(3 points) On note(Xk)k1une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace P n probabilisé,F, P)et on poseSn=Xkpour toutn1. On suppose vérifiées k=1 les conditions suivantes. i) Ilexiste une variable aléatoire intégrableZtelle que pour toutk1,|Xk| ≤Zp.s. ii) LesXkont même espérance. Sn iii) convergepresque-sûrement quandntend vers l’infini vers un réela. n Sn 1 1) Montrezque la convergence deversaa lieu aussi au sensL, autrement dit : n Sn Ea−−−−→0.   n+n 2) Endéduire quea=EX1. 3) Montrezqu’en particulier les conditions i) et ii) sont satisfaites lorsque lesXk sont de même loi vérifiantP(|X1| ≤c) = 1pour une certaine constantec. Ex 2.Convergence p.s. de séries (5 points) On note(Xk)k1une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé,F, P)et(ak)k1une suite de réels. 1) Onsuppose que les séries ++X X aketP(Xk6=ak) k=1k=1 P +sont convergentes. Montrez qu’alors la sérieXkconverge presque sûrement. Indi-k=1 cation : on peut utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour voir que le comportement de Xkdevient très « stable » à partir d’un certain rangk0. . .aléatoire.