Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur

• cours - matière potentielle : is


• cours - matière potentielle : ipe

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IS Math314 Année 2010 Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures. – Ce sujet comporte 4 pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n'a pas valeur contractuelle. – Documents autorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d'IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatrices autorisées. Ex 1. (3 points) On note (Xk)k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (?,F, P ) et on pose Sn = ∑n k=1 Xk pour tout n ≥ 1. On suppose vérifiées les conditions suivantes. i) Il existe une variable aléatoire intégrable Z telle que pour tout k ≥ 1, |Xk| ≤ Z p.s. ii) Les Xk ont même espérance. iii) Sn n converge presque-sûrement quand n tend vers l'infini vers un réel a. 1) Montrez que la convergence de Sn n vers a a lieu aussi au sens L1, autrement dit : E ? ? ? ? Sn n ? a ? ? ? ? ?????n?+∞ 0. 2) En déduire que a = EX1.

• naire bilingue pour étudiants étrangers


• temps d'attente


• horloge h0


• éclair pendant l'intervalle


• u0 mesurable par l'horloge h0


• liaison aérienne


• table de la loi normale

Informations

• Publié par: zauj
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• Langue: Français

Extrait

IS Math314

Université U.F.R. de

des Sciences et Mathématiques

Technologies de Lille Pures et Appliquées

Partiel, 2 avril 2010, durée 2 heures.

Année 2010

– Cesujet comporte4pages, dont une table de la loi normale. – Le barème indiqué est là pour vous aider à gérer votre temps et n’a pas valeur contractuelle. – Documentsautorisés : polycopié du cours IPE, polycopié du cours d’IS, diction- naire bilingue pour étudiants étrangers. – Calculatricesautorisées.

Ex 1.(3 points) On note(X k ) k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace P n probabilisé(Ω,F, P)et on poseS n =X k pour toutn≥1. On suppose vérifiées k=1 les conditions suivantes. i) Ilexiste une variable aléatoire intégrableZtelle que pour toutk≥1,|X k | ≤Zp.s. ii) LesX k ont même espérance. S n iii) convergepresque-sûrement quandntend vers l’infini vers un réela. n S n 1 1) Montrezque la convergence deversaa lieu aussi au sensL, autrement dit : n S n E−a−−−−→0.   n→+∞ n 2) Endéduire quea=EX 1 . 3) Montrezqu’en particulier les conditions i) et ii) sont satisfaites lorsque lesX k sont de même loi vérifiantP(|X 1 | ≤c) = 1pour une certaine constantec. Ex 2.Convergence p.s. de séries (5 points) On note(X k ) k≥1 une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé(Ω,F, P)et(a k ) k≥1 une suite de réels. 1) Onsuppose que les séries +∞+∞ X X a k etP(X k 6=a k ) k=1k=1 P +∞ sont convergentes. Montrez qu’alors la sérieX k converge presque sûrement. Indi- k=1 cation : on peut utiliser le lemme de Borel-Cantelli pour voir que le comportement de X k devient très « stable » à partir d’un certain rangk 0 . . .aléatoire.