UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Mai 2008 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Montrer que la serie entiere +∞ ∑ n=0 sin npi3 xn n! est de rayon de convergence infini, puis calculer sa somme S(x) pour tout x reel. Exercice 2 Pour tout x reel on pose f(x) = 2x ∫ x dt 14 + t4 . a) Montrer que f est impaire et determiner le signe de f ?. b) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a 0 ≤ f(x) ≤ x14 + x4 . En deduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞. c) Donner l'allure de la courbe representative de f . Exercice 3 Trouver la limite de la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 k k2 + n2 . Exercice 4 Calculer 1 ∫ ?1 dt t + i . Exercice 5 a) Ecrire la premiere formule de la moyenne. b) Calculer la limite de la suite (un)n≥2 definie par un = n4 ∫ n2 arctan xn x ln x dx.

• arctann ≤


• sin npi3 xn


• premiere integrale


• serie


• tdt t2


• n4 ∫


• arctan cnn

Informations

• Publié par: chaeh
• Publié le: 01 mai 2008
• Nombre de lectures: 49

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Mai2008Calculatricesnonautoris´ees

+∞ n X nπ x Exercice 1insleuqrertnoMeeri`nteeri´eas 3n! n=0 infini, puis calculer sa sommeS(x) pour toutx.leer´

est de rayon de convergence

2x Z dt Exercice 2Pour toutxr´eeoselonpf(x) = . 4 14 +t x 0 a) Montrer quef´etdrmtepaimeeirtsengdeenireelisf. x b) Montrer que pour toutx≥0, on a 0≤f(x)≤.du´endEetidelamirilef(x) 4 14 +x lorsquextend vers +∞. c)Donnerl’alluredelacourberepr´esentativedef.

n X k Exercice 3Trouver la limite de la suite (u n ) n≥1 rpade´nfieiu n = . 2 2 k+n k=1 1 Z dt Exercice 4Calculer . t+i −1 Exercice 5elumrofere`imerpe.nnyemoladerelaEcria) 4 n Z x arctan n b) Calculer la limite de la suite (u n ) n≥2 d´infierapeu n =dx. xlnx 2 n Exercice 6e’lrenimelbmesneretD´a)Ddes couples (a, brbsenemoslet´reequlse)d +∞ Z dx l’int´egraleI(a, b) = converge. b2a x(1 +x) 0 b) Montrer, en effectuant un changement de variable, que pour tout couple (a, b) deD, on aI(a, b) =I(a,2−b−2a). +∞ Z dx Exercice 7Pourn≥0, on poseI n =.itnite´se,gmornantparpEanrrtre 2n+1 (1 +x) 0 2n+ 1 que l’on aI n+1 =I n endteelavadrueude´leriI n raleonne(Ond.etnluat´rse 2n+ 2 utilisant des factorielles).